Квантовая теория. Часть 3. Копытин И.В - 57 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

Глава 3.
Релятивистская квантовая теория
Уравнение Шредингера
i}
∂ψ
∂t
=
−
}
2
2m
∇
2
+ V (r, t)
ψ (3.1)
не является инвариантным (изменяет свой вид) относительно преоб-
разований Лоренца, т. е. не является релятивистски инвариантным.
Поэтому оно непригодно для описания частиц с энергиями, сравнимы-
ми с энергией покоя E = mc
2
.
В настоящей главе рассматриваются элементы релятивистской
квантовой механики: обсуждаются основные уравнения релятивист-
ской квантовой теории — уравнения Клейна – Гордона и Дирака; ана-
лизируются решения этих уравнений для свободной частицы; исследу-
ются релятивистские поправки к уравнению Дирака (3.1) (уравнение
Паули, спин-орбитальное взаимодействие).
3.1. Уравнение Клейна – Гордона
Известно, что уравнение Шредингера (3.1) может быть получено
из классического соотношения между энергией и импульсом частицы,
имеющей массу m,
E =
p
2
2m
+ V (r), (3.2)
с помощью формальной замены классических величин — энергии, им-
пульса, координаты и т. д., соответствующими операторами:
E → i}
∂
∂t
, p → −i}∇, (3.3)
с последующим действием получившегося операторного равенства
на ψ.
Используем аналогичный прием для получения релятивистского
аналога уравнения (3.1). Для этого воспользуемся связью между энер-
гией и импульсом релятивистской свободной частицы:
E
2
− c
2
p
2
− m
2
c
4
= 0. (3.4)
57
Глава 3.

Релятивистская квантовая теория

   Уравнение Шредингера
                                                 
                      ∂ψ           }2 2
                   i}    =       −    ∇ + V (r, t) ψ          (3.1)
                      ∂t           2m

не является инвариантным (изменяет свой вид) относительно преоб-
разований Лоренца, т. е. не является релятивистски инвариантным.
Поэтому оно непригодно для описания частиц с энергиями, сравнимы-
ми с энергией покоя E = mc2 .
   В настоящей главе рассматриваются элементы релятивистской
квантовой механики: обсуждаются основные уравнения релятивист-
ской квантовой теории — уравнения Клейна – Гордона и Дирака; ана-
лизируются решения этих уравнений для свободной частицы; исследу-
ются релятивистские поправки к уравнению Дирака (3.1) (уравнение
Паули, спин-орбитальное взаимодействие).

3.1.   Уравнение Клейна – Гордона
   Известно, что уравнение Шредингера (3.1) может быть получено
из классического соотношения между энергией и импульсом частицы,
имеющей массу m,
                                 p2
                           E=       + V (r),                (3.2)
                                2m
с помощью формальной замены классических величин — энергии, им-
пульса, координаты и т. д., соответствующими операторами:
                              ∂
                     E → i}      ,        p → −i}∇,           (3.3)
                              ∂t
с последующим действием получившегося операторного равенства
на ψ.
   Используем аналогичный прием для получения релятивистского
аналога уравнения (3.1). Для этого воспользуемся связью между энер-
гией и импульсом релятивистской свободной частицы:

                       E 2 − c2 p2 − m2 c4 = 0.               (3.4)

                                     57

Страницы