Квантовая теория. Часть 3. Копытин И.В - 59 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

значений координат частицы. Однако величина суммарного заряда
всегда сохраняется, поэтому вместо плотности вероятности координат
частицы удобно рассматривать плотность вероятности для простран-
ственного распределения электрического заряда. Для этого умножим
(3.7) и (3.8) на электрический заряд частицы e:
j
e
=
e}
2mi
(ψ
∗
∇ψ − ψ∇ψ
∗
) , (3.9)
ρ
e
=
ie}
2mc
2
ψ
∗
∂ψ
∂t
− ψ
∂ψ
∗
∂t
. (3.10)
Величины ρ
e
и j
e
теперь можно рассматривать соответственно как
плотность заряда и плотность электрического тока. Возможность двух
знаков у ρ
e
определяется знаком заряда соответствующей частицы. Из
уравнения непрерывности (3.6) следует сохранение полного заряда, т. е.
R
ρ
e
d
3
r = const. Плотность заряда ρ
e
определяет разность между чис-
лом положительных и отрицательных зарядов, поэтому она не является
положительно определенной. Если имеется одна частица, то плотность
либо положительная, либо отрицательная в зависимости от знака за-
ряда частицы.
Переход к нерелятивистскому уравнению (3.1) может быть выпол-
нен с помощью унитарного преобразования:
ψ(r, t) = exp(−imc
2
t/})ϕ(r, t). (3.11)
Действительно, в нерелятивистском пределе энергия системы мало от-
личается от энергии покоя системы, т. е. E = + mc
2
, где mc
2
.
Подставим волновую функцию в виде (3.11) в уравнение Клейна – Гор-
дона. Используем следующую цепочку преобразований и оценок:
∂ψ
∂t
=
∂ϕ
∂t
− i
mc
2
}
ϕ
e
−i
mc
2
}
t
. (3.12)
Так как производная по времени от функции ϕ имеет порядок ∼ /~,
ею можно пренебречь по сравнению со вторым членом и в результате
имеем:
∂ψ
∂t
≈ −i
mc
2
}
ϕe
−i
mc
2
}
t
. (3.13)
Вычисление второй производной по времени с использованием выра-
жения (3.13) дает:
∂
2
ψ
∂t
2
≈ −
i
mc
2
}
∂ϕ
∂t
+
m
2
c
4
}
2
ϕ
e
−i
mc
2
}
t
. (3.14)
Подставляя последнее выражение в уравнение Клейна – Гордона, полу-
чаем нерелятивистское уравнение Шредингера для свободной частицы.
59
значений координат частицы. Однако величина суммарного заряда
всегда сохраняется, поэтому вместо плотности вероятности координат
частицы удобно рассматривать плотность вероятности для простран-
ственного распределения электрического заряда. Для этого умножим
(3.7) и (3.8) на электрический заряд частицы e:
                           e}
                     je =      (ψ ∗ ∇ψ − ψ∇ψ ∗ ) ,                 (3.9)
                          2mi                   
                                               ∗
                           ie}        ∂ψ    ∂ψ
                     ρe =      2
                                   ψ∗    −ψ        .              (3.10)
                          2mc         ∂t     ∂t
Величины ρe и j e теперь можно рассматривать соответственно как
плотность заряда и плотность электрического тока. Возможность двух
знаков у ρe определяется знаком заряда соответствующей частицы. Из
Rуравнения
       3
            непрерывности (3.6) следует сохранение полного заряда, т. е.
   ρe d r = const. Плотность заряда ρe определяет разность между чис-
лом положительных и отрицательных зарядов, поэтому она не является
положительно определенной. Если имеется одна частица, то плотность
либо положительная, либо отрицательная в зависимости от знака за-
ряда частицы.
    Переход к нерелятивистскому уравнению (3.1) может быть выпол-
нен с помощью унитарного преобразования:
                    ψ(r, t) = exp(−imc2 t/})ϕ(r, t).              (3.11)
Действительно, в нерелятивистском пределе энергия системы мало от-
личается от энергии покоя системы, т. е. E =  + mc2 , где   mc2 .
Подставим волновую функцию в виде (3.11) в уравнение Клейна – Гор-
дона. Используем следующую цепочку преобразований и оценок:
                                     
                    ∂ψ     ∂ϕ    mc2       mc2
                       =      −i     ϕ e−i } t .              (3.12)
                    ∂t     ∂t     }
Так как производная по времени от функции ϕ имеет порядок ∼ /~,
ею можно пренебречь по сравнению со вторым членом и в результате
имеем:
                       ∂ψ        mc2 −i mc2 t
                            ≈ −i     ϕe } .                (3.13)
                       ∂t         }
Вычисление второй производной по времени с использованием выра-
жения (3.13) дает:
                                           
                ∂2ψ         mc2 ∂ϕ m2 c4        −i mc
                                                      2
                    ≈ −   i         +     ϕ   e     } t.   (3.14)
                ∂t2          } ∂t      }2
Подставляя последнее выражение в уравнение Клейна – Гордона, полу-
чаем нерелятивистское уравнение Шредингера для свободной частицы.

                                   59

Страницы