Квантовая теория. Часть 3. Копытин И.В - 58 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

Производя соответствующие замены физических величин на операто-
ры, получим:
−}
2
∂
2
∂t
2
ψ + ~
2
c
2
∇
2
− m
2
c
4
= 0,
или
∇
2
−
1
c
2
∂
2
∂t
2
− k
2
ψ = 0,
(3.5)
где
k =
mc
}
=
1
λ
,
а λ — комптоновская длина волны частицы с массой m. Уравнение (3.5)
называется уравнением Клейна – Гордона и может быть использовано
для квантового описания релятивистской частицы. С математической
точки зрения уравнение (3.5) является уравнением в частных производ-
ных второго порядка как относительно пространственных переменных,
так и относительно временной переменной. Поэтому для однозначного
решения уравнения (3.5) необходимо задать, помимо значения волновой
функции в некоторый момент времени, еще и значение ее производной.
Отметим, что от классического волнового уравнения оно отличается
только дополнительным слагаемым −k
2
ψ. Релятивистская инвариант-
ность уравнения (3.5) непосредственно следует из инвариантности со-
отношения (3.4) относительно преобразований Лоренца.
Умножим слева уравнение (3.5) на ψ
∗
и уравнение, ему сопряжен-
ное, на ψ, а затем из первого уравнения вычтем второе. После простых
преобразований получим уравнение непрерывности:
∂ρ
∂t
+ div j = 0, (3.6)
где
j =
}
2mi
(ψ
∗
∇ψ − ψ∇ψ
∗
), (3.7)
ρ =
i}
2mc
2
(ψ
∗
∂ψ
∂t
− ψ
∂ψ
∗
∂t
). (3.8)
Как мы уже отмечали выше, уравнение Клейна – Гордона (3.5) яв-
ляется уравнением второго порядка относительно времени, поэтому
для определения зависимости ψ от времени надо знать значение самой
функции и ее производной в начальный момент времени. Поскольку их
можно выбрать произвольно, то величина ρ, определяемая формулой
(3.7), не будет положительно определенной. В связи с этим величину ρ
нельзя интерпретировать как плотность вероятности определенных
58
Производя соответствующие замены физических величин на операто-
ры, получим:
                         2
                     2 ∂
                  −}      2
                            ψ + ~2 c2 ∇2 − m2 c4 = 0,
                       ∂t
или
                                          
                         2    1 ∂2       2
                       ∇ − 2 2 − k ψ = 0,                  (3.5)
                              c ∂t
где
                                  mc   1
                            k=       = ,
                                  }    λ
а λ — комптоновская длина волны частицы с массой m. Уравнение (3.5)
называется уравнением Клейна – Гордона и может быть использовано
для квантового описания релятивистской частицы. С математической
точки зрения уравнение (3.5) является уравнением в частных производ-
ных второго порядка как относительно пространственных переменных,
так и относительно временной переменной. Поэтому для однозначного
решения уравнения (3.5) необходимо задать, помимо значения волновой
функции в некоторый момент времени, еще и значение ее производной.
Отметим, что от классического волнового уравнения оно отличается
только дополнительным слагаемым −k 2 ψ. Релятивистская инвариант-
ность уравнения (3.5) непосредственно следует из инвариантности со-
отношения (3.4) относительно преобразований Лоренца.
    Умножим слева уравнение (3.5) на ψ ∗ и уравнение, ему сопряжен-
ное, на ψ, а затем из первого уравнения вычтем второе. После простых
преобразований получим уравнение непрерывности:
                           ∂ρ
                              + div j = 0,                     (3.6)
                           ∂t
где
                         }
                     j=     (ψ ∗ ∇ψ − ψ∇ψ ∗ ),                 (3.7)
                        2mi
                         i}      ∗ ∂ψ     ∂ψ ∗
                     ρ=      (ψ       − ψ      ).              (3.8)
                        2mc2       ∂t      ∂t
Как мы уже отмечали выше, уравнение Клейна – Гордона (3.5) яв-
ляется уравнением второго порядка относительно времени, поэтому
для определения зависимости ψ от времени надо знать значение самой
функции и ее производной в начальный момент времени. Поскольку их
можно выбрать произвольно, то величина ρ, определяемая формулой
(3.7), не будет положительно определенной. В связи с этим величину ρ
нельзя интерпретировать как плотность вероятности определенных


                                 58

Страницы