Квантовая теория. Часть 3. Копытин И.В - 60 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

3.2. Свободное движение бесспиновой частицы
Будем искать решения уравнения Клейна – Гордона (3.5), соответ-
ствующие стационарным состояниям с определенным значением им-
пульса p в виде:
ψ(r, t) = A exp
i
}
(pr − εt)
, (3.15)
где A — нормированная константа, ε — подлежащая определению ве-
личина. Подстановка (3.15) в (3.5) приводит к следующим допустимым
значениям ε:
ε = ±E
p
, где E
p
= c
p
p
2
+ m
2
c
2
(3.16)
— энергия частицы.
Таким образом, решения уравнения (3.5), соответствующие состоя-
ниям с определенными значениями импульса и заряда, могут быть двух
типов:
ψ
λ
(r, t) = A exp
i
}
(pr − λE
p
t)
, (3.17)
λ =
ε
E
p
= ±1; ε = ±E
p
. (3.18)
Действительно, подставляя (3.17) в (3.10), находим:
(ρ
e
)
λ
=
λeE
p
mc
2
= |ψ
λ
|
2
. (3.19)
Решения типа ψ
+
имеют положительную частоту в волне (3.17). Они
соответствуют свободному движению частиц с импульсом p и знаком
заряда sign e. Решения типа ψ
−
с отрицательной частотой — свободному
движению с противоположным знаком заряда.
Итак, переход к релятивистскому квантовому уравнению Клейна –
Гордона приводит к появлению дополнительной степени свободы по
отношению к нерелятивистскому уравнению. В нерелятивистской тео-
рии состояние свободного движения с определенным значением импуль-
са только одно. В релятивистской теории заряженных частиц имеют-
ся решения, которые можно сопоставить двум возможным значениям
заряда частиц, которые различаются только знаками. Следовательно,
новая степень свободы связана со знаком заряда частицы, т. е. урав-
нение Клейна – Гордона позволяет предсказать существование анти-
частиц. Основной недостаток уравнения Клейна – Гордона состоит в
том, что оно не позволяет выявить спиновую степень свободы. Поэтому
с его помощью можно описывать квантовые свойства лишь частиц с
нулевым спином.
60
3.2.   Свободное движение бесспиновой частицы
   Будем искать решения уравнения Клейна – Гордона (3.5), соответ-
ствующие стационарным состояниям с определенным значением им-
пульса p в виде:                               
                                     i
                   ψ(r, t) = A exp     (pr − εt) ,          (3.15)
                                     }
где A — нормированная константа, ε — подлежащая определению ве-
личина. Подстановка (3.15) в (3.5) приводит к следующим допустимым
значениям ε:                             p
                ε = ±Ep , где Ep = c p2 + m2 c2               (3.16)
— энергия частицы.
   Таким образом, решения уравнения (3.5), соответствующие состоя-
ниям с определенными значениями импульса и заряда, могут быть двух
типов:                                            
                                     i
                 ψλ (r, t) = A exp     (pr − λEp t) ,        (3.17)
                                     }
                           ε
                     λ=       = ±1;      ε = ±Ep .           (3.18)
                          Ep
Действительно, подставляя (3.17) в (3.10), находим:

                                   λeEp
                        (ρe )λ =      2
                                        = |ψλ |2 .            (3.19)
                                   mc
Решения типа ψ+ имеют положительную частоту в волне (3.17). Они
соответствуют свободному движению частиц с импульсом p и знаком
заряда sign e. Решения типа ψ− с отрицательной частотой — свободному
движению с противоположным знаком заряда.
   Итак, переход к релятивистскому квантовому уравнению Клейна –
Гордона приводит к появлению дополнительной степени свободы по
отношению к нерелятивистскому уравнению. В нерелятивистской тео-
рии состояние свободного движения с определенным значением импуль-
са только одно. В релятивистской теории заряженных частиц имеют-
ся решения, которые можно сопоставить двум возможным значениям
заряда частиц, которые различаются только знаками. Следовательно,
новая степень свободы связана со знаком заряда частицы, т. е. урав-
нение Клейна – Гордона позволяет предсказать существование анти-
частиц. Основной недостаток уравнения Клейна – Гордона состоит в
том, что оно не позволяет выявить спиновую степень свободы. Поэтому
с его помощью можно описывать квантовые свойства лишь частиц с
нулевым спином.


                                    60

Страницы