Квантовая теория. Часть 3. Копытин И.В - 61 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

3.3. Уравнение Дирака
В 1928 г. П.А.М. Дираку удалось получить релятивистское уравне-
ние, пригодное для описания свойств электронов и других частиц со
спином
1
2
. Дирак исходил из требований: 1) из уравнения на волновую
функцию должно получаться уравнение непрерывности с положитель-
но определенной плотностью вероятности; 2) решения «нового» урав-
нения должны быть также решениями уравнения Клейна – Гордона.
Вместо одной функции ψ(r, t), используемой в нерелятивистской тео-
рии и уравнении Клейна – Гордона, Дирак ввел систему n функции
ψ
ν
(r, t), ν = 1, 2, . . . , n, определяющих плотность электрического за-
ряда с помощью соотношения
ρ
e
= e
n
X
ν=1
ψ
∗
ν
ψ
ν
. (3.20)
Тогда из закона сохранения электрического заряда следует:
d
dt
Z
ρ
e
d
3
r
(3.20)
= e
n
X
ν=1
Z
∂ψ
∗
ν
∂t
ψ
ν
+ ψ
∗
ν
∂ψ
ν
∂t
d
3
r = 0. (3.21)
Для выполнения соотношения (3.21) в любой момент времени t необ-
ходимо, чтобы значения производных
∂ψ
ν
∂t
определялись значениями
функции в момент времени t. Следовательно, функции ψ
ν
должны удо-
влетворять уравнению первого порядка относительно производных по
времени. Но в таком случае это уравнение должно содержать также и
только первые производные по координате, для того чтобы обеспечить
инвариантность уравнения относительно преобразований Лоренца, так
как декартовы координаты (x, y, z) вместе с величиной ct образуют ком-
поненты четырехмерного вектора.
Не ограничивая общности, можно записать систему таких уравне-
ний для функции {ψ
ν
} в виде:
1
c
∂ψ
ν
∂t
+
n
X
µ=1
3
X
k=1
α
(k)
νµ
∂ψ
µ
∂x
k
+ i
mc
}
n
X
µ=1
β
νµ
ψ
µ
= 0, (3.22)
где α
(k)
µν
, β
νµ
— постоянные комплексные коэффициенты. Они опреде-
ляются из следующих условий:
1) система (3.22) должна приводить к уравнению непрерывности
для ρ;
2) каждая из функций {ψ
ν
} должна удовлетворять также уравне-
нию Клейна – Гордона (3.5).
61
3.3.     Уравнение Дирака
    В 1928 г. П.А.М. Дираку удалось получить релятивистское уравне-
ние, пригодное для описания свойств электронов и других частиц со
спином 21 . Дирак исходил из требований: 1) из уравнения на волновую
функцию должно получаться уравнение непрерывности с положитель-
но определенной плотностью вероятности; 2) решения «нового» урав-
нения должны быть также решениями уравнения Клейна – Гордона.
Вместо одной функции ψ(r, t), используемой в нерелятивистской тео-
рии и уравнении Клейна – Гордона, Дирак ввел систему n функции
ψν (r, t), ν = 1, 2, . . . , n, определяющих плотность электрического за-
ряда с помощью соотношения
                                      n
                                      X
                             ρe = e         ψν∗ ψν .               (3.20)
                                      ν=1

Тогда из закона сохранения электрического заряда следует:
         Z                Xn Z     ∗
                                                    
       d           (3.20)        ∂ψ ν          ∂ψ ν
           ρ e d3 r = e               ψν + ψν∗        d3 r = 0.    (3.21)
      dt                  ν=1
                                  ∂t            ∂t

Для выполнения соотношения (3.21) в любой момент времени t необ-
                                       ∂ψν
ходимо, чтобы значения производных           определялись значениями
                                        ∂t
функции в момент времени t. Следовательно, функции ψν должны удо-
влетворять уравнению первого порядка относительно производных по
времени. Но в таком случае это уравнение должно содержать также и
только первые производные по координате, для того чтобы обеспечить
инвариантность уравнения относительно преобразований Лоренца, так
как декартовы координаты (x, y, z) вместе с величиной ct образуют ком-
поненты четырехмерного вектора.
   Не ограничивая общности, можно записать систему таких уравне-
ний для функции {ψν } в виде:
                     n  3                 n
             1 ∂ψν X X (k) ∂ψµ        mc X
                  +       ανµ      +i        βνµ ψµ = 0,           (3.22)
             c ∂t   µ=1
                              ∂x k    }  µ=1
                          k=1

       (k)
где αµν , βνµ — постоянные комплексные коэффициенты. Они опреде-
ляются из следующих условий:
   1) система (3.22) должна приводить к уравнению непрерывности
для ρ;
   2) каждая из функций {ψν } должна удовлетворять также уравне-
нию Клейна – Гордона (3.5).

                                      61

Страницы