Квантовая теория. Часть 3. Копытин И.В - 62 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

Предлагаем самостоятельно убедиться в том, что при выполнении
условий
α
(k)
νµ
= α
(k)∗
µν
, β
νµ
= β
∗
µν
(3.23)
из уравнения (3.22) следует уравнение непрерывности
∂ρ
e
∂t
+ div j
e
= 0,
где ρ
e
определяется выражением (3.20), а декартовы компоненты плот-
ности тока имеют вид:
(j
e
)
k
= ec
n
X
µ,ν=1
ψ
∗
ν
α
(k)
νµ
ψ
µ
. (3.24)
Для доказательства (3.23) необходимо умножить (3.22) на ψ
∗
ν
, а ком-
плексно сопряженное (3.22) уравнение — на ψ
ν
, провести суммирование
по ν и вычесть из одного уравнения другое.
В целях упрощения записей удобно перейти к матричным обозначе-
ниям. Образуем из коэффициентов α
(k)
νµ
и β
νµ
четыре матрицы размер-
ности n × n:
ˆ
α ≡ (ˆα
1
, ˆα
2
, ˆα
3
), ˆα
k
= (α
(k)
νµ
);
ˆ
β = (β
νµ
).
Тогда условие (3.23) кратко записывается в виде:
ˆ
α =
ˆ
α
†
,
ˆ
β =
ˆ
β
†
.
Все функции {ψ
ν
} объединим в один столбец:
Ψ =
ψ
1
ψ
2
.
.
.
ψ
n
. (3.25)
Обозначение (3.25) аналогично обозначению спинора в нерелятивист-
ской теории спина. Эрмитово сопряжение (3.25) будет иметь вид стро-
ки:
Ψ
†
= (ψ
∗
1
ψ
∗
2
. . . ψ
∗
n
). (3.26)
В матричных обозначениях система (3.22) упрощается и принимает
вид:
1
c
∂
∂t
+ (
ˆ
α∇) +
imc
}
ˆ
β
Ψ = 0.
(3.27)
62
   Предлагаем самостоятельно убедиться в том, что при выполнении
условий
                     (k)    (k)∗          ∗
                    ανµ  = αµν   , βνµ = βµν               (3.23)
из уравнения (3.22) следует уравнение непрерывности
                                 ∂ρe
                                     + div j e = 0,
                                 ∂t
где ρe определяется выражением (3.20), а декартовы компоненты плот-
ности тока имеют вид:
                                           n
                                           X
                           (je )k = ec           ψν∗ ανµ
                                                      (k)
                                                          ψµ .                  (3.24)
                                         µ,ν=1

Для доказательства (3.23) необходимо умножить (3.22) на ψν∗ , а ком-
плексно сопряженное (3.22) уравнение — на ψν , провести суммирование
по ν и вычесть из одного уравнения другое.
   В целях упрощения записей удобно перейти к матричным обозначе-
                                   (k)
ниям. Образуем из коэффициентов ανµ и βνµ четыре матрицы размер-
ности n × n:
                                               (k)
            α̂ ≡ (α̂1 , α̂2 , α̂3 ),   α̂k = (ανµ  );            β̂ = (βνµ ).

Тогда условие (3.23) кратко записывается в виде:

                              α̂ = α̂† ,         β̂ = β̂ † .

Все функции {ψν } объединим в один столбец:
                                    
                                 ψ1
                                    
                               ψ2 
                                    
                          Ψ =  . .                                            (3.25)
                               .. 
                                    
                                 ψn

Обозначение (3.25) аналогично обозначению спинора в нерелятивист-
ской теории спина. Эрмитово сопряжение (3.25) будет иметь вид стро-
ки:
                        Ψ† = (ψ1∗ ψ2∗ . . . ψn∗ ).           (3.26)
В матричных обозначениях система (3.22) упрощается и принимает
вид:
                                       
                   1 ∂            imc
                        + (α̂∇) +     β̂ Ψ = 0.          (3.27)
                   c ∂t            }


                                           62

Страницы