Квантовая теория. Часть 3. Копытин И.В - 64 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

системы матриц ˆσ
k
(вместе с единичной 2 × 2 матрицей) в простран-
стве матриц размерности 2. Таким образом, размерность матриц 2 × 2
в уравнении Дирака недопустима. Значение n = 4 дает минимальную
возможную размерность матриц
ˆ
α,
ˆ
β: 4 ×4. Нетрудно убедиться в том,
что матрицы
ˆ
α =
0
ˆ
σ
ˆ
σ 0
!
,
ˆ
β =
ˆ
1
2
0
0 −
ˆ
1
2
!
, (3.32)
где под символом «0» надо понимать нулевую матрицу 2 × 2, удовле-
творяют всем условиям (3.23), (3.30). Матрицы (3.32) принято называть
матрицами Дирака.
Следует отметить, что представление матриц Дирака в виде (3.32)
не является единственным возможным. Действительно, унитарное пре-
образование:
ˆ
α
0
=
ˆ
S
ˆ
α
ˆ
S
−1
,
ˆ
β
0
=
ˆ
S
ˆ
β
ˆ
S
−1
,
осуществляемое при помощи произвольной унитарной матрицы
ˆ
S раз-
мерности 4 × 4, изменяет вид матриц Дирака, однако не изменяет со-
отношений (3.23), (3.30)
1
, т. е. все физические следствия уравнения
Дирака (3.27) не зависят от конкретного вида матриц Дирака. В соот-
ветствии с размерностью матриц Дирака 4 ×4, число компонент столб-
ца Ψ также должно равняться четырем. Предлагаем самостоятельно
получить из уравнения Дирака систему четырех уравнений для ком-
понент ψ
1
, . . . , ψ
4
в представлении (3.32) с диагональной матрицей ˆσ
z
,
вещественной ˆσ
x
и мнимой ˆσ
y
.
Часто уравнение Дирака записывается не в виде (3.27), а в гамиль-
тоновой форме (сходной с уравнением Шредингера), которая получа-
ется из (3.27) умножением на −i }c:
i}
∂Ψ
∂t
= H
D
Ψ,
(3.33)
где H
D
— дираковский гамильтониан:
H
D
= c
ˆ
α
ˆ
p + mc
2
β. (3.34)
Можно предложить несколько упрощенный способ получения уравнения
Дирака. Для этого запишем искомое уравнение сразу в гамильтоновой фор-
ме (3.33), по своей структуре аналогичной нерелятивистскому уравнению
Шредингера (3.1). Теперь проблема состоит в определении вида оператора
ˆ
H
D
. Уравнение (3.33) содержит первую производную по времени. Поэтому из
требования релятивистской ковариантности оператор
ˆ
H
D
должен содержать
1
См. (4.8) о неоднозначности в выборе представления матриц Паули.
64
системы матриц σ̂k (вместе с единичной 2 × 2 матрицей) в простран-
стве матриц размерности 2. Таким образом, размерность матриц 2 × 2
в уравнении Дирака недопустима. Значение n = 4 дает минимальную
возможную размерность матриц α̂, β̂: 4 × 4. Нетрудно убедиться в том,
что матрицы                  !                  !
                       0 σ̂             1̂2   0
                 α̂ =          , β̂ =             ,            (3.32)
                       σ̂ 0              0 −1̂2
где под символом «0» надо понимать нулевую матрицу 2 × 2, удовле-
творяют всем условиям (3.23), (3.30). Матрицы (3.32) принято называть
матрицами Дирака.
   Следует отметить, что представление матриц Дирака в виде (3.32)
не является единственным возможным. Действительно, унитарное пре-
образование:
                    α̂0 = Ŝ α̂Ŝ −1 , β̂ 0 = Ŝ β̂ Ŝ −1 ,
осуществляемое при помощи произвольной унитарной матрицы Ŝ раз-
мерности 4 × 4, изменяет вид матриц Дирака, однако не изменяет со-
отношений (3.23), (3.30) 1 , т. е. все физические следствия уравнения
Дирака (3.27) не зависят от конкретного вида матриц Дирака. В соот-
ветствии с размерностью матриц Дирака 4 × 4, число компонент столб-
ца Ψ также должно равняться четырем. Предлагаем самостоятельно
получить из уравнения Дирака систему четырех уравнений для ком-
понент ψ1 , . . . , ψ4 в представлении (3.32) с диагональной матрицей σ̂z ,
вещественной σ̂x и мнимой σ̂y .
   Часто уравнение Дирака записывается не в виде (3.27), а в гамиль-
тоновой форме (сходной с уравнением Шредингера), которая получа-
ется из (3.27) умножением на −i }c:

                                      ∂Ψ
                                 i}      = HD Ψ,                         (3.33)
                                      ∂t

где HD — дираковский гамильтониан:

                              HD = cα̂p̂ + mc2 β.                        (3.34)

    Можно предложить несколько упрощенный способ получения уравнения
Дирака. Для этого запишем искомое уравнение сразу в гамильтоновой фор-
ме (3.33), по своей структуре аналогичной нерелятивистскому уравнению
Шредингера (3.1). Теперь проблема состоит в определении вида оператора
ĤD . Уравнение (3.33) содержит первую производную по времени. Поэтому из
требования релятивистской ковариантности оператор ĤD должен содержать
  1   См. (4.8) о неоднозначности в выборе представления матриц Паули.



                                         64

Страницы