Квантовая теория. Часть 3. Копытин И.В - 66 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

Φ(r) =
ϕ
χ
!
, (3.38)
где
ϕ =
ψ
1
ψ
2
!
, χ =
ψ
3
ψ
4
!
.
Подстановка (3.38) в (3.37) с учетом (3.34) приводит к системе двух
матричных уравнений для ϕ и χ:
(mc
2
− ε)ϕ + c
ˆ
σ
ˆ
pχ = 0,
c
ˆ
σ
ˆ
pϕ − (mc
2
+ ε)χ = 0.
(3.39)
Будем искать решения системы (3.39) в виде χ = χ
0
exp(ipr/~) и
ϕ = ϕ
0
exp(ipr/~), что, очевидно, соответствует движению частицы с
определенным импульсом p. В этом случае система уравнений (3.39)
эквивалентна системе линейных однородных алгебраических уравне-
ний с постоянными коэффициентами χ
0
, ϕ
0
(поскольку
ˆ
p exp(ipr/}) =
= p exp(ipr/})):
(mc
2
− ε)ϕ
0
+ c
ˆ
σpχ
0
= 0,
c
ˆ
σpϕ
0
− (mc
2
+ ε)χ
0
= 0.
(3.40)
Система (3.40) имеет нетривиальные решения, если ее детерминант об-
ращается в нуль:
mc
2
− ε c
ˆ
σp
c
ˆ
σp −(mc
2
+ ε)
= 0.
Данное условие позволяет найти значения неизвестного параметра ε.
Раскрывая детерминант с использованием тождества
(
ˆ
σa)(
ˆ
σb) = ab + i
ˆ
σ[a × b], (3.41)
находим
c
2
p
2
+ m
2
c
4
− ε
2
= 0,
или
ε = ±E
p
, (3.42)
где
E
p
= c
p
p
2
+ m
2
c
2
(3.43)
— энергия частицы. Двум знакам в (3.42) соответствуют два типа ре-
шений уравнения Дирака. Состояния с ε = +E
p
иногда называют со-
стояниями «с положительной энергией». Соответственно, состояния с
66
                                                 !
                                             ϕ
                            Φ(r) =                   ,                (3.38)
                                             χ
где
                                !                             !
                           ψ1                            ψ3
                     ϕ=             ,        χ=                   .
                           ψ2                            ψ4
Подстановка (3.38) в (3.37) с учетом (3.34) приводит к системе двух
матричных уравнений для ϕ и χ:
                       (mc2 − ε)ϕ + cσ̂p̂χ = 0,
                                                                      (3.39)
                       cσ̂p̂ϕ − (mc2 + ε)χ = 0.

Будем искать решения системы (3.39) в виде χ = χ0 exp(ipr/~) и
ϕ = ϕ0 exp(ipr/~), что, очевидно, соответствует движению частицы с
определенным импульсом p. В этом случае система уравнений (3.39)
эквивалентна системе линейных однородных алгебраических уравне-
ний с постоянными коэффициентами χ0 , ϕ0 (поскольку p̂ exp(ipr/}) =
= p exp(ipr/})):
                      (mc2 − ε)ϕ0 + cσ̂pχ0 = 0,
                                                              (3.40)
                      cσ̂pϕ0 − (mc2 + ε)χ0 = 0.
Система (3.40) имеет нетривиальные решения, если ее детерминант об-
ращается в нуль:
                      mc2 − ε     cσ̂p
                                          = 0.
                        cσ̂p   −(mc2 + ε)
Данное условие позволяет найти значения неизвестного параметра ε.
Раскрывая детерминант с использованием тождества

                     (σ̂a)(σ̂b) = ab + iσ̂[a × b],                    (3.41)

находим
                        c2 p2 + m2 c4 − ε2 = 0,
или
                                ε = ±Ep ,                             (3.42)
где                             p
                          Ep = c p 2 + m 2 c 2                        (3.43)
— энергия частицы. Двум знакам в (3.42) соответствуют два типа ре-
шений уравнения Дирака. Состояния с ε = +Ep иногда называют со-
стояниями «с положительной энергией». Соответственно, состояния с

                                        66

Страницы