Квантовая теория. Часть 3. Копытин И.В - 67 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

ε = −E
p
будут состояниями «с отрицательной энергией» (терминоло-
гия П.А.М. Дирака).
Если ε определяется из (3.42), то с помощью (3.40) можно одну
двухкомпонентную функцию выразить через другую, например, χ
0
че-
рез ϕ
0
:
χ
0
=
c
ˆ
σp
mc
2
+ ε
ϕ
0
. (3.44)
Для состояний с определенным импульсом p зависимость ϕ(r) выра-
жается плоской волной. Поэтому ϕ имеет вид:
ϕ =
Nu
(2π})
3/2
exp
i
}
pr
, (3.45)
где N — нормировочный множитель, u — не зависящий от координат
спинор с компонентами u
1
и u
2
:
u =
u
1
u
2
!
.
Он обычно нормируется условием
u
†
u = |u
1
|
2
+ |u
2
|
2
= 1. (3.46)
Итак, функция Дирака Φ(r) для состояний свободного движения с
энергией E
p
, импульсом p и знаком λ может быть записана в виде:
Φ
pλ
(r) =
N
(2π})
3/2
u
c
ˆ
σp
mc
2
+λE
p
u
exp
i
}
pr
(3.47)
где λ может принимать одно из двух значений +1 или −1 в соответ-
ствии с (3.42). Выражение в круглых скобках имеет 4 компоненты и
называется биспинором.
Нормировочный множитель N в (3.47) вычисляется из условия
Z
Φ
†
p
0
λ
0
(r)Φ
pλ
(r) d
3
r = δ
λ
0
λ
δ(p
0
− p) (3.48)
в соответствии с правилом нормировки собственных функций операто-
ров с дискретным и непрерывным спектрами. После интегрирования
по координате с функциями (3.47) получаем следующее соотношение
для нормировочного множителя N:
|N|
2
u
†
u
†
c
ˆ
σp
mc
2
+ λ
0
E
p
u
c
ˆ
σp
mc
2
+λE
p
u
= δ
λ
0
λ
. (3.49)
67
ε = −Ep будут состояниями «с отрицательной энергией» (терминоло-
гия П.А.М. Дирака).
   Если ε определяется из (3.42), то с помощью (3.40) можно одну
двухкомпонентную функцию выразить через другую, например, χ0 че-
рез ϕ0 :
                                cσ̂p
                         χ0 =          ϕ0 .                (3.44)
                              mc2 + ε
Для состояний с определенным импульсом p зависимость ϕ(r) выра-
жается плоской волной. Поэтому ϕ имеет вид:
                                           
                           Nu           i
                    ϕ=            exp     pr ,             (3.45)
                         (2π})3/2       }
где N — нормировочный множитель, u — не зависящий от координат
спинор с компонентами u1 и u2 :
                                   !
                                u1
                            u=       .
                                u2
Он обычно нормируется условием
                      u† u = |u1 |2 + |u2 |2 = 1.            (3.46)
   Итак, функция Дирака Φ(r) для состояний свободного движения с
энергией Ep , импульсом p и знаком λ может быть записана в виде:
                                         
                                                      
                           N         u            i
              Φpλ (r) =                   exp     pr       (3.47)
                        (2π})3/2   cσ̂p
                                   2    u         }
                                  mc +λEp


где λ может принимать одно из двух значений +1 или −1 в соответ-
ствии с (3.42). Выражение в круглых скобках имеет 4 компоненты и
называется биспинором.
   Нормировочный множитель N в (3.47) вычисляется из условия
                 Z
                   Φ†p0 λ0 (r)Φpλ (r) d3 r = δλ0 λ δ(p0 − p) (3.48)

в соответствии с правилом нормировки собственных функций операто-
ров с дискретным и непрерывным спектрами. После интегрирования
по координате с функциями (3.47) получаем следующее соотношение
для нормировочного множителя N :
                                              
                                 
                           cσ̂p           u
            |N |2 u† u† 2                      = δ λ0 λ . (3.49)
                                0
                        mc + λ Ep      c σ̂p
                                       2     u
                                         mc +λEp



                                  67

Страницы