Квантовая теория. Часть 3. Копытин И.В - 65 стр.

только первую производную по координате, т. е. быть линейным по опера-
тору импульса. Оператор в левой части уравнения (3.33) имеет размерность
энергии, поэтому наиболее общая форма ĤD дается соотношением (3.34) с
неизвестными безразмерными параметрами α̂, β̂, которые будем предпола-
гать эрмитовыми. Эти параметры не могут зависеть от времени в силу его
однородности. Они также не могут зависеть от координат по причине от-
сутствия внешних полей, т. е. являются константами. Для нахождения α̂, β̂
перепишем уравнение (3.33) в виде:
                                            
                           ∂              2
                        i}    − cα̂p̂ − mc β̂ Ψ = 0.               (3.35)
                           ∂t

Если мы «сквадрируем» уравнение (3.35) (т. е. повторно подействуем на
него оператором, эрмитово-сопряженным оператору в квадратных скобках:
[. . .]† [. . .]), то получим уравнение второго порядка (3.29). Как известно,
релятивистски-ковариантным уравнением второго порядка является урав-
нение Клейна – Гордона (3.5). В силу универсального релятивистского со-
отношения между энергией и импульсом (3.4) уравнению Клейна – Гордона
удовлетворяет движение любой частицы. Чтобы уравнение (3.29) не проти-
воречило уравнению Клейна – Гордона, необходимо, чтобы константы α̂ и
β̂ удовлетворяли соотношениям (3.30). Но обычные числа таким соотноше-
ниям не удовлетворяют. Поэтому α̂ и β̂ должны быть матрицами некото-
рой размерности n, а волновая функция Ψ должна состоять из n компонент.
Дальнейшие рассуждения о структуре этих матриц приведены выше.


3.4.    Свободное движение в теории Дирака
   Исследуем вначале стационарные состояния в теории Дирака. Для
этого будем искать решение уравнения (3.33) в виде
                                            
                                          i
                     Ψ(r, t) = Φ(r) exp − εt               (3.36)
                                         }

с неизвестным параметром ε. Подставляя (3.36) в (3.33), приходим к
уравнению для четырехкомпонентной функции Φ(r):

                             ĤD Φ(r) = εΦ(r),                        (3.37)

формально совпадающему с нерелятивистским стационарным уравне-
нием Шредингера. Величина ε определяет по-прежнему зависимость
волновых функций стационарных состояний от времени. Выразим че-
тырехкомпонентную функцию Φ(r) через две двухкомпонентные:




                                     65