Квантовая теория. Часть 3. Копытин И.В - 63 стр.

   Матричное уравнение (3.27) называется уравнением Дирака. Соот-
ношения (3.20) и (3.24) в матричной форме имеют следующий вид:

                            ρe = eΨ† Ψ,              j e = ecΨ† α̂Ψ.                            (3.28)

   Явный вид матриц α̂, β̂ получим, подействовав на (3.27) оператором
                                    1 ∂            imc
                                         − (α̂∇) −     β̂.
                                    c ∂t            }
После соответствующих преобразований в декартовом базисе (выпол-
нить самостоятельно!) получаем следующее уравнение для столбца
(3.25):
                                                                                          
          2       3
                  X                        2           2             3
                                                                     X
   1 ∂ −1               {α̂k , α̂l }
                                          ∂      mc
                                                + 2 β̂ 2 −
                                                           imc
                                                                           {α̂l , β̂}
                                                                                         ∂ 
                                                                                             Ψ = 0.
    c2 ∂t2 2                            ∂xk ∂xl   }         }                           ∂xl
                 k,l=1                                               l=1
                                                                                                 (3.29)
 Символ {. . . , . . .} обозначает антикоммутатор. Это уравнение распа-
дается на n независимых уравнений Клейна – Гордона для каждой из
компонент {ψµ } только при выполнении условий:

                   β̂ 2 = 1̂n ,         {α̂k , β̂} = 0,    {α̂k , α̂l } = 2δkl ,                (3.30)

где 1̂n означает единичную матрицу размерности n × n.
   На основании условий (3.23), (3.30) можно получить явный вид мат-
риц α̂, β̂. Установим вначале размерность n этих матриц. Исходя из
второго уравнения (3.30), имеем:

                                           α̂k β̂ = −β̂ α̂k .                                   (3.31)

Вычисляя определитель обеих частей равенства (3.31) с использовани-
ем основных свойств определителя, получаем:

  kα̂k β̂k = k − 1̂n β̂ α̂k k = k − 1n k ·kβ̂k · kα̂k k =
                                | {z }
                                        (−1)n

                                                    = (−1)n kα̂k k · kβ̂k = (−1)n kα̂k β̂k.

Для выполнения последнего равенства n должно принимать только
четные значения. Найдем теперь минимальное значение n. При n = 2
последнее из условий (3.30) позволяет предположить, что α̂ = σ̂ —
матрица Паули. Однако, такой выбор несовместим с условием (3.31).
Действительно, так как матрица β антикоммутирует со всеми матри-
цами α̂k , она не может быть представлена в виде их линейной комби-
нации, что противоречит доказанному в гл. 7 утверждению о полноте

                                                  63