Квантовая теория. Часть 3. Копытин И.В - 68 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

С учетом допустимых значений λ = ±1 имеем:
λ
0
λ =
(
1, λ = λ
0
−1, λ 6= λ
0
)
= 2δ
λ
0
λ
− 1,
λ
0
+ λ = 2δ
λ
0
λ
signλ = 2λδ
λ
0
λ
.
(3.50)
Матричное произведение в (3.49) вычисляется с использованием соот-
ношений (3.41), (3.43), (3.46), (3.50):
. . .
.
.
.
= u
†
u + u
†
c
2
(
ˆ
σp)
2
(mc
2
+ λ
0
E
p
)(mc
2
+ λE
p
)
u =
= u
†
u
|{z}
1
1 +
c
2
p
2
m
2
c
4
+ (λ
0
+ λ)mc
2
E
p
+ λ
0
λE
2
p
=
2δ
λ
0
λ
E
p
(E
p
+ λmc
2
)
(mc
2
+ λ
0
E
p
)(mc
2
+ λE
p
)
.
Для случая λ = λ
0
имеем
2
:
. . .
.
.
.
=
2E
p
(E
p
+ λmc
2
)
(mc
2
+ λE
p
)
2
=
2E
p
(λ
2
mc
2
+ λE
p
)
λ(mc
2
+ λE
p
)
2
=
= (λ = ±1) =
2λE
p
mc
2
+ λE
p
.
Таким образом,
N =
s
mc
2
+ λE
p
2λE
p
Рассмотрим (3.47) при λ = +1 в нерелятивистском приближении,
т. е.
ε = E
p
= mc
2
+ E
0
, где E
0
mc
2
.
Из (3.40) следует, что при условии p mc
χ
0
=
c
ˆ
σp
2mc
2
+ E
0
ϕ
0
≈
ˆ
σp
2mc
ϕ
0
ϕ
0
. (3.51)
Таким образом, если классическая скорость частицы мала по сравне-
нию со скоростью света, то, согласно (3.38), (3.51), две компоненты
биспинора, составляющие ϕ, будут много больше двух других компо-
нент, составляющих столбец χ. По этой причине ϕ часто называется
«большой» компонентой, а χ — «малой». Для состояний с λ = −1 все
2
Случай λ 6= λ
0
не интересен, так как скалярное произведение волновых функ-
ций обращается в нуль.
68
С учетом допустимых значений λ = ±1 имеем:
                        (              )
                                     0
                           1, λ  = λ
                 λ0 λ =                  = 2δλ0 λ − 1,
                          −1, λ 6= λ0                                             (3.50)
                                   λ0 + λ = 2δλ0 λ signλ = 2λδλ0 λ .
Матричное произведение в (3.49) вычисляется с использованием соот-
ношений (3.41), (3.43), (3.46), (3.50):
                                     c2 (σ̂p)2
                              ..          †     †
          ...       =u u+u     .                              u=
                               (mc2 + λ0 Ep )(mc2 + λEp )
                        2 2
                                          
                       c  p                        2δλ0 λ Ep (Ep + λmc2 )
  u† u 1 + 2 4
= |{z}                                       =                             .
           m c + (λ0 + λ)mc2 Ep + λ0 λEp2       (mc2 + λ0 Ep )(mc2 + λEp )
      1

Для случая λ = λ0 имеем 2 :
                                   2Ep (Ep + λmc2 )   2Ep (λ2 mc2 + λEp )
                         ..
              ...         .        =                    =                     =
                                        (mc2 + λEp )2      λ(mc2 + λEp )2

                                                           2λEp
                                       = (λ = ±1) =                .
                                                         mc2 + λEp
Таким образом,
                                               s
                                                    mc2 + λEp
                                          N=
                                                      2λEp

    Рассмотрим (3.47) при λ = +1 в нерелятивистском приближении,
т. е.
                ε = Ep = mc2 + E 0 , где E 0  mc2 .
Из (3.40) следует, что при условии p  mc

                                         cσ̂p           σ̂p
                          χ0 =                    ϕ 0 ≈     ϕ0  ϕ 0 .            (3.51)
                                       2mc2 + E 0       2mc
Таким образом, если классическая скорость частицы мала по сравне-
нию со скоростью света, то, согласно (3.38), (3.51), две компоненты
биспинора, составляющие ϕ, будут много больше двух других компо-
нент, составляющих столбец χ. По этой причине ϕ часто называется
«большой» компонентой, а χ — «малой». Для состояний с λ = −1 все
  2 Случай λ 6= λ0 не интересен, так как скалярное произведение волновых функ-
ций обращается в нуль.



                                                    68

Страницы