Квантовая теория. Часть 3. Копытин И.В - 69 стр.

наоборот: ϕ — «малая» компонента, χ — «большая». Рекомендуем убе-
диться самостоятельно.
    Получим теперь релятивистские поправки к плотностям заряда и тока
в состояниях с λ = +1. Если частица не обладает определенным значением
импульса, то связь между «большой» и «малой» компонентами биспинора в
соответствии с (3.39) может быть записана в в виде
                                  σ̂p̂         σ̂∇ϕ
                             χ≈        ϕ = −i}      .                         (3.52)
                                  2mc           2mc
Из (3.28) получаем приближенные выражения для плотности заряда
                                                  
                        †     †  (3.52) †     p̂2
                ρe = e(ϕ ϕ + χ χ) ≈ eϕ 1 +           ϕ         (3.53)
                                            4m2 c2
и тока
         (3.32)                 (3.52)i}e †
    j e = ce(ϕ† σ̂χ + χ† σ̂ϕ) ≈ −        [ϕ σ̂(σ̂∇ϕ) − (∇ϕ† σ̂)σ̂ϕ] =
                                      2m                                      (3.54)
                               e}                      e}
                            =     (ϕ† ∇ϕ − (∇ϕ† )ϕ) +     rot(ϕ† σ̂ϕ).
                              2mi                     2m
При выводе формулы (3.54) использовались тождества:

           σ̂(σ̂∇ϕ) = ∇ϕ + i rot(σ̂ϕ),   (∇ϕ† , σ̂)σ̂ = ∇ϕ† − i rot(σ̂ϕ† ),

которые можно проверить с использованием свойств матриц Паули. Первое
слагаемое в (3.54) совпадает с нерелятивистским выражением плотности тока
для частицы без спина, второе слагаемое учитывает спин частицы.


3.5.      Спин электрона в теории Дирака
    В записи волновой функции свободного движения (3.47) с импуль-
сом p и знаком λ не конкретизирован вид спинора u, нормированного
лишь условием (3.46). Покажем, что состояния (3.47) могут различать-
ся значением еще одной физической величины, которая, как будет по-
казано ниже, обусловлена наличием у частицы спина. Для этого введем
оператор
                               }
                                 Σ̂p̂,                         (3.55)
                               2
где                                    !
                                 σ̂ 0
                          Σ̂ =           .
                                  0 σ̂

Нетрудно проверить, что оператор Σ̂p̂ коммутирует с гамильтонианом
(3.34), т. е. [ĤD , Σ̂p̂] = 0. Таким образом, имеет место сохранение неко-
торой физической характеристики электрона. Направим ось Oz вдоль

                                         69