Квантовая теория. Ч. 1. Копытин И.В - 54 стр.

                                  54


декартовы компоненты неизмеримы совместно, зато совместно изме-
римыми будут квадрат орбитального момента вместе с любой декар-
товой компонентой.
   Рассмотренные законы сохранения имеют классические аналоги.
Как и в классической механике, их существование для замкнутой (не
подверженной внешним воздействиям) квантовой системы есть след-
ствие однородности времени (энергия), а также однородности и изо-
тропии пространства (импульс и орбитальный момент).

Оператор инверсии. Четность состояний
    Определение: Операция пространственной инверсии (отражения)
состоит в замене r → −r. Соответствующий оператор обозначается
Iˆ и определяется следующим образом:

                           ˆ     def
                           IΨ(r) = Ψ(−r).                       (1.110)

В трехмерном пространстве операция инверсии приводит к замене пра-
вой системы декартовых координат на левую. В двумерном случае по-
сле отражения (x, y) → (−x, −y) новая система координат с помощью
поворота на 180◦ превращается в исходную, так что такое преобразо-
вание нельзя считать инверсией. В трехмерном же случае после отра-
жения трех осей изменяется ориентация системы координат: правая
система превращается в левую и наоборот. При этом исходная и новая
системы координат не сводятся друг к другу с помощью поворотов.
Именно такое преобразование является инверсией.
   Приведем явный вид преобразования инверсии в трехмерном про-
странстве в наиболее важных системах координат:
декартовы координаты: x → −x, y → −y, z → −z;
сферические координаты: r → r, θ → π − θ, ϕ → π + ϕ.
   Найдем собственные значения и собственные функции оператора
инверсии. В соответствии с (1.110) и из определения единичного опера-
тора следует, что Iˆ2 = 1. Поэтому оператор Iˆ2 имеет лишь единственное
собственное значение, равное единице. Спектр оператора I,   ˆ очевидно,
будет состоять из двух собственных значений, равных ±1:
                          ˆ ± (r) = ±Ψ± (r).
                          IΨ                                    (1.111)

Таким образом, собственными функциями оператора инверсии явля-
ются любые четные и нечетные функции, удовлетворяющие стан-
дартным условиям.