Квантовая теория. Ч. 1. Копытин И.В - 57 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

57
Глава 2.
Простейшие задачи квантовой механики
В данной главе рассматриваются простейшие стационарные задачи
квантовой механики, допускающие точное аналитическое решение.
2.1. Одномерное движение
Стационарное уравнение Шредингера для одномерного движения
частицы с массой m в поле V (x) выглядит следующим образом:
−
}
2
2m
d
2
dx
2
Ψ
E
(x) + V (x)Ψ
E
(x) = EΨ
E
(x). (2.1)
Граничные условия к нему определяются характером движения, поста-
новкой задачи и стандартными условиями.
В случае инфинитного движения энергетический спектр непреры-
вен, так что граничные условия, т.е. Ψ
E
(±∞), выбираются конечны-
ми, однозначными, непрерывными и учитывающими постановку задачи
(например, о прохождении микрочастиц через потенциальный барьер).
В случае финитного движения граничные условия берутся нулевы-
ми
Ψ
E
(±∞) = 0, (2.2)
чтобы обеспечить конечное значение нормировочного интеграла. В дан-
ном разделе мы будем рассматривать только финитное движение.
Сформулируем общие свойства одномерного финитного движения.
1. Энергетические уровни не вырождены. Для доказательства пред-
положим противное, и пусть Ψ
1
и Ψ
2
— две различные (линейно неза-
висимые) собственные функции, соответствующие одному и тому же
значению энергии. Поскольку обе они удовлетворяют одному и тому
же уравнению (2.1), то имеем:
Ψ
00
1
Ψ
1
=
2m
}
2
[V (x) − E] =
Ψ
00
2
Ψ
2
,
                                 57




Глава 2.

Простейшие задачи квантовой механики

   В данной главе рассматриваются простейшие стационарные задачи
квантовой механики, допускающие точное аналитическое решение.

2.1.   Одномерное движение
   Стационарное уравнение Шредингера для одномерного движения
частицы с массой m в поле V (x) выглядит следующим образом:

                }2 d 2
              −        ΨE (x) + V (x)ΨE (x) = EΨE (x).        (2.1)
                2m dx2

Граничные условия к нему определяются характером движения, поста-
новкой задачи и стандартными условиями.
   В случае инфинитного движения энергетический спектр непреры-
вен, так что граничные условия, т.е. ΨE (±∞), выбираются конечны-
ми, однозначными, непрерывными и учитывающими постановку задачи
(например, о прохождении микрочастиц через потенциальный барьер).
   В случае финитного движения граничные условия берутся нулевы-
ми
                          ΨE (±∞) = 0,                       (2.2)
чтобы обеспечить конечное значение нормировочного интеграла. В дан-
ном разделе мы будем рассматривать только финитное движение.
   Сформулируем общие свойства одномерного финитного движения.
   1. Энергетические уровни не вырождены. Для доказательства пред-
положим противное, и пусть Ψ1 и Ψ2 — две различные (линейно неза-
висимые) собственные функции, соответствующие одному и тому же
значению энергии. Поскольку обе они удовлетворяют одному и тому
же уравнению (2.1), то имеем:

                    Ψ001  2m               Ψ002
                         = 2 [V (x) − E] =      ,
                    Ψ1     }               Ψ2

Страницы