Квантовая теория. Ч. 1. Копытин И.В - 59 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

59
каждая из которых зависит только от одной из координат.
Задачи о частице в прямоугольной потенциальной яме (пример фи-
нитного движения) и о прохождении частиц через потенциальный ба-
рьер (пример инфинитного движения), имеющие точное аналитическое
решение, разобраны в практическом курсе [3], Ч. 2.
2.2. Линейный гармонический осциллятор
Рассмотрим одномерную потенци-
Рис. 2.1.
альную яму
V (x) =
1
2
mω
2
x
2
(2.4)
с параметром
1
ω (рис. 2.1). Такой по-
тенциал называется осцилляторным.
Примерами классических осциллято-
ров являются пружинный, математи-
ческий и физический маятники, со-
вершающие малые колебания. Движе-
ние частиц в таком потенциале всегда
финитное. В классической механике
частица с массой m в поле (2.4) совершает гармонические колебания:
x(t) = A cos(ωt + α),
где ω — циклическая частота, A — амплитуда, α — начальная фаза. В
квантовой механике линейными гармоническими осцилляторами моде-
лируются колебания ионов в узлах кристаллической решетки, а также
колебательные степени свободы в многоатомных молекулах при доста-
точно малых амплитудах колебаний (т.е. когда межатомный потенциал
можно считать квадратичным). Отметим важность модели одномерно-
го линейного гармонического осциллятора для построения формализма
вторичного квантования и квантовой теории поля.
Гамильтониан одномерного квантового осциллятора с потенциалом
(2.4)
ˆ
H = −
}
2
2m
d
2
dx
2
+
1
2
mω
2
x
2
инвариантен относительно отражения x → −x, поэтому, помимо пол-
ной энергии, интегралом состояния будет также и четность. Для на-
хождения дискретных значений энергии E > 0 и волновых функций
1
Точнее, параметром является коэффициент упругости k: V (x) =
1
2
kx
2
; цикли-
ческая частота ω =
p
k/m, где m — масса частицы, вводится для удобства
                                        59


каждая из которых зависит только от одной из координат.
   Задачи о частице в прямоугольной потенциальной яме (пример фи-
нитного движения) и о прохождении частиц через потенциальный ба-
рьер (пример инфинитного движения), имеющие точное аналитическое
решение, разобраны в практическом курсе [3], Ч. 2.

2.2.    Линейный гармонический осциллятор
   Рассмотрим одномерную потенци-
альную яму
                        1
              V (x) =     mω 2 x2      (2.4)
                        2
с параметром1 ω (рис. 2.1). Такой по-
тенциал называется осцилляторным.
Примерами классических осциллято-
ров являются пружинный, математи-
ческий и физический маятники, со-
вершающие малые колебания. Движе-
ние частиц в таком потенциале всегда
финитное. В классической механике                Рис. 2.1.
частица с массой m в поле (2.4) совершает гармонические колебания:
                               x(t) = A cos(ωt + α),
где ω — циклическая частота, A — амплитуда, α — начальная фаза. В
квантовой механике линейными гармоническими осцилляторами моде-
лируются колебания ионов в узлах кристаллической решетки, а также
колебательные степени свободы в многоатомных молекулах при доста-
точно малых амплитудах колебаний (т.е. когда межатомный потенциал
можно считать квадратичным). Отметим важность модели одномерно-
го линейного гармонического осциллятора для построения формализма
вторичного квантования и квантовой теории поля.
    Гамильтониан одномерного квантового осциллятора с потенциалом
(2.4)
                             }2 d 2    1
                     Ĥ = −        2
                                     +   mω 2 x2
                            2m dx      2
инвариантен относительно отражения x → −x, поэтому, помимо пол-
ной энергии, интегралом состояния будет также и четность. Для на-
хождения дискретных значений энергии E > 0 и волновых функций
                                                               1
  1 Точнее,параметром является коэффициент упругости k: V (x) = kx2 ; цикли-
                  p                                            2
ческая частота ω = k/m, где m — масса частицы, вводится для удобства

Страницы