Квантовая теория. Ч. 1. Копытин И.В - 60 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

60
стационарных состояний осциллятора необходимо решить стационар-
ное уравнение Шредингера
−
}
2
2m
d
2
dx
2
Ψ(x) +
1
2
mω
2
x
2
Ψ(x) = EΨ(x) (2.5)
с граничными условиями
Ψ(±∞) = 0 (2.6)
вследствие финитного характера движения.
Прежде всего перейдем в (2.5) к безразмерной координате ξ = x/x
0
(константа x
0
с размерностью длины будет определена ниже; это «есте-
ственная» единица длины для осциллятора, позволяющая существенно
упростить все математические выкладки):
d
2
Φ
dξ
2
−
mωx
2
0
}
2
| {z }
1
ξ
2
Φ(ξ) +
2mx
2
0
}
2
EΦ(ξ) = 0,
где Φ(ξ) = Ψ(x). Константу x
0
определим, потребовав обращения в
единицу безразмерного множителя перед ξ
2
. Постоянный коэффициент
перед Φ(ξ) тоже будет безразмерен. Обозначим его λ. Таким образом,
в безразмерных переменных
Φ(ξ) = Ψ(x); ξ =
x
x
0
; x
0
=
r
}
mω
; λ =
2mx
2
0
}
2
E =
2E
}ω
(2.7)
краевая задача (2.5), (2.6) принимает вид:
d
2
Φ
dξ
2
+ (λ −ξ
2
) Φ(ξ) = 0, (2.8)
Φ(±∞) = 0. (2.9)
Неизвестными в ней являются λ и Φ(ξ), связанные с исходными неиз-
вестными E и Ψ(x) соотношениями (2.7). Решение задачи всегда бу-
дет удовлетворять стандартному условию непрерывности вследствие
непрерывности коэффициентов уравнения (2.8).
Решение будем искать с помощью разложения Φ(ξ) в ряд по степе-
ням ξ. Для этого вначале найдем асимптотический вид Φ(ξ) в окрест-
ностях особых точек уравнения (2.8). Таковыми являются ξ = ±∞, при
которых коэффициент при Φ(ξ) обращается в бесконечность.
При заданном λ безразмерную координату ξ всегда можно выбрать
настолько большой, что
|ξ| max(
√
λ, 1), (2.10)
                                   60


стационарных состояний осциллятора необходимо решить стационар-
ное уравнение Шредингера
                }2 d 2         1
              −       2
                        Ψ(x) +   mω 2 x2 Ψ(x) = EΨ(x)          (2.5)
                2m dx          2
с граничными условиями
                            Ψ(±∞) = 0                          (2.6)
вследствие финитного характера движения.
   Прежде всего перейдем в (2.5) к безразмерной координате ξ = x/x0
(константа x0 с размерностью длины будет определена ниже; это «есте-
ственная» единица длины для осциллятора, позволяющая существенно
упростить все математические выкладки):
                            2
              d2 Φ     mωx20      2        2mx20
                   −            ξ   Φ(ξ) +       EΦ(ξ) = 0,
              dξ 2      }                   }2
                     | {z }
                         1

где Φ(ξ) = Ψ(x). Константу x0 определим, потребовав обращения в
единицу безразмерного множителя перед ξ 2 . Постоянный коэффициент
перед Φ(ξ) тоже будет безразмерен. Обозначим его λ. Таким образом,
в безразмерных переменных
                                r
                       x            }          2mx20    2E
     Φ(ξ) = Ψ(x); ξ =    ; x0 =       ; λ=        2
                                                     E=       (2.7)
                      x0           mω           }       }ω
краевая задача (2.5), (2.6) принимает вид:
                       d2 Φ
                            + (λ − ξ 2 ) Φ(ξ) = 0,             (2.8)
                       dξ 2
                             Φ(±∞) = 0.                        (2.9)
Неизвестными в ней являются λ и Φ(ξ), связанные с исходными неиз-
вестными E и Ψ(x) соотношениями (2.7). Решение задачи всегда бу-
дет удовлетворять стандартному условию непрерывности вследствие
непрерывности коэффициентов уравнения (2.8).
   Решение будем искать с помощью разложения Φ(ξ) в ряд по степе-
ням ξ. Для этого вначале найдем асимптотический вид Φ(ξ) в окрест-
ностях особых точек уравнения (2.8). Таковыми являются ξ = ±∞, при
которых коэффициент при Φ(ξ) обращается в бесконечность.
   При заданном λ безразмерную координату ξ всегда можно выбрать
настолько большой, что
                                     √
                         |ξ|  max( λ, 1),                   (2.10)

Страницы