Квантовая теория. Ч. 1. Копытин И.В - 61 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

61
и вместо точного уравнения (2.8) решать приближеннoe:
d
2
Φ
dξ
2
− ξ
2
Φ(ξ) = 0. (2.11)
Приближенное решение (2.11) при условии (2.10) имеет вид:
Φ(ξ) ∼ e
∓ξ
2
/2
. (2.12)
Вследствие граничного условия (2.9) из (2.12) необходимо выбрать
только затухающее решение, т.е. искать Φ(ξ) в виде:
Φ(ξ) = v(ξ)
|{z}
?
e
−ξ
2
/2
(2.13)
с неизвестной функцией v(ξ). Подстановка (2.13) в (2.8) приводит к
следующему уравнению для v(ξ), уже не содержащему особых точек
(коэффициент при v(ξ) конечен):
v
00
(ξ) − 2ξv
0
(ξ) + (λ − 1)v(ξ) = 0. (2.14)
Граничные условия для v(ξ) формулируются, исходя из (2.9) и (2.13):
v(ξ) e
−ξ
2
/2
ξ→±∞
= 0. (2.15)
Представим неизвестную функцию v(ξ) в виде ряда Тейлора по сте-
пеням ξ с неизвестными коэффициентами:
v(ξ) =
∞
X
k=0
a
k
|{z}
?
ξ
k
. (2.16)
После подстановки (2.16) уравнение (2.14) принимает вид:
∞
X
k=0
{(k + 2)(k + 1)a
k+2
− [2k − (λ − 1)]a
k
}ξ
k
= 0. (2.17)
При приведении подобных слагаемых (с одинаковой степенью ξ) в пер-
вой сумме левой части (2.17) мы сделали замену индекса суммирования
k → k + 2.
Уравнение (2.17) эквивалентно уравнению (2.14). Чтобы (2.17) вы-
полнялось тождественно при любых значениях ξ, коэффициенты при
                                           61


и вместо точного уравнения (2.8) решать приближеннoe:

                             d2 Φ
                                2
                                  − ξ 2 Φ(ξ) = 0.                    (2.11)
                             dξ

Приближенное решение (2.11) при условии (2.10) имеет вид:
                                                     2
                               Φ(ξ) ∼ e∓ξ                /2
                                                              .      (2.12)

Вследствие граничного условия (2.9) из (2.12) необходимо выбрать
только затухающее решение, т.е. искать Φ(ξ) в виде:
                                                          2
                             Φ(ξ) = v(ξ) e−ξ                  /2
                                                                     (2.13)
                                    |{z}
                                               ?

с неизвестной функцией v(ξ). Подстановка (2.13) в (2.8) приводит к
следующему уравнению для v(ξ), уже не содержащему особых точек
(коэффициент при v(ξ) конечен):

                    v 00 (ξ) − 2ξv 0 (ξ) + (λ − 1)v(ξ) = 0.          (2.14)

Граничные условия для v(ξ) формулируются, исходя из (2.9) и (2.13):
                                      2
                           v(ξ) e−ξ       /2
                                                              = 0.   (2.15)
                                               ξ→±∞

   Представим неизвестную функцию v(ξ) в виде ряда Тейлора по сте-
пеням ξ с неизвестными коэффициентами:
                                          ∞
                                          X
                             v(ξ) =                 ak ξ k .         (2.16)
                                                   |{z}
                                          k=0       ?

После подстановки (2.16) уравнение (2.14) принимает вид:
          ∞
          X
                {(k + 2)(k + 1)ak+2 − [2k − (λ − 1)]ak } ξ k = 0.    (2.17)
          k=0

При приведении подобных слагаемых (с одинаковой степенью ξ) в пер-
вой сумме левой части (2.17) мы сделали замену индекса суммирования
k → k + 2.
   Уравнение (2.17) эквивалентно уравнению (2.14). Чтобы (2.17) вы-
полнялось тождественно при любых значениях ξ, коэффициенты при

Страницы