Квантовая теория. Ч. 1. Копытин И.В - 63 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

63
Рис. 2.2.
E
n
= }ω
n +
1
2
, n = 0, 1, . . . (2.20)
Таким образом, энергия осциллятора квантуется вследствие финит-
ного характера движения. Число энергетических уровней бесконечно.
Уровни расположены эквидистантно на расстоянии }ω друг от друга
(рис. 2.2а).
Ненормированные волновые функции стационарных состояний
(точнее — их множители v(ξ)) можно получить по рекуррентной фор-
муле (2.18). Положив a
0
= 1, a
1
= 0, мы получаем коэффициенты всех
четных полиномов; положив a
0
= 0, a
1
= 1, мы получаем все нечетные
полиномы. Таким образом, четность стационарных состояний опреде-
ляется энергией (или, что то же самое, значением квантового числа
осциллятора n):
Ψ
n
(−x) = (−1)
n
Ψ
n
(x), т.е. P
n
= (−1)
n
. (2.21)
Полагая a
1
= 0 (в первом случае) и a
0
= 0 (во втором случае), мы
обеспечиваем требование сохранения четности.
Для нахождения явного вида волновых функций учтем, что при
условии (2.19) уравнение (2.14) является уравнением для полиномов
Чебышева–Эрмита (см. Приложение В.). Приведем здесь окончатель-
ный вид нормированных волновых функций стационарных состояний
осциллятора:
Ψ
n
(x) =
1
p
2
n
n!x
0
√
π
H
n
(x/x
0
) e
−x
2
/(2x
2
0
)
. (2.22)
                                     63




                                  Рис. 2.2.


                                     
                              1
                  En = }ω n +             ,   n = 0, 1, . . .                (2.20)
                              2
Таким образом, энергия осциллятора квантуется вследствие финит-
ного характера движения. Число энергетических уровней бесконечно.
Уровни расположены эквидистантно на расстоянии }ω друг от друга
(рис. 2.2а).
   Ненормированные волновые функции стационарных состояний
(точнее — их множители v(ξ)) можно получить по рекуррентной фор-
муле (2.18). Положив a0 = 1, a1 = 0, мы получаем коэффициенты всех
четных полиномов; положив a0 = 0, a1 = 1, мы получаем все нечетные
полиномы. Таким образом, четность стационарных состояний опреде-
ляется энергией (или, что то же самое, значением квантового числа
осциллятора n):

              Ψn (−x) = (−1)n Ψn (x),         т.е. Pn = (−1)n .              (2.21)

Полагая a1 = 0 (в первом случае) и a0 = 0 (во втором случае), мы
обеспечиваем требование сохранения четности.
   Для нахождения явного вида волновых функций учтем, что при
условии (2.19) уравнение (2.14) является уравнением для полиномов
Чебышева–Эрмита (см. Приложение В.). Приведем здесь окончатель-
ный вид нормированных волновых функций стационарных состояний
осциллятора:

                              1                 −x        2
                                                              /(2x20 )
              Ψn (x) = p         √ Hn (x/x0 ) e                          .   (2.22)
                            n
                           2 n!x0 π

Страницы