Квантовая теория. Ч. 1. Копытин И.В - 65 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

65
Классическое движение частицы в потенциале (2.23) ограничено только
слева точкой поворота a = −E/F (рис.2.4). Поэтому движение инфи-
нитно в одну сторону (x → +∞), а энергетический спектр непрерывный
и невырожденный. Граничные условия, налагаемые на Ψ(x):
Ψ(−∞) = 0; Ψ(+∞) ограничено.
Заменой переменных
Рис. 2.4.
ξ =
2mF
}
2
1/3
x +
E
F
при заданном E уравнение (2.24) приводится к
уравнению Эйри
Φ
00
(ξ) + ξΦ(ξ) = 0 (2.25)
с граничными условиями
Φ(−∞) = 0; Φ(+∞) ограничено, (2.26)
где Φ(ξ) = Ψ(x).
Решение уравнения (2.25) с граничными условиями (2.26) выража-
ется через функцию Эйри (см. Приложение Г.):
Φ(ξ) = CAi(−ξ). (2.27)
Мы не будем здесь выписывать явный вид нормировочной констан-
ты C.
В дальнейшем нам понадобится асимптотический вид (2.27) вдали
от точек поворота (|ξ| 1), который может быть получен из известных
асимптотических выражений для функций Бесселя:
при ξ → −∞ Φ(ξ) '
C
2|ξ|
1/4
exp
−
2
3
|ξ|
3/2
;
при ξ → +∞ Φ(ξ) '
C
ξ
1/4
sin
2
3
ξ
3/2
+
π
4
.
                                       65


Классическое движение частицы в потенциале (2.23) ограничено только
слева точкой поворота a = −E/F (рис.2.4). Поэтому движение инфи-
нитно в одну сторону (x → +∞), а энергетический спектр непрерывный
и невырожденный. Граничные условия, налагаемые на Ψ(x):

                  Ψ(−∞) = 0;          Ψ(+∞) ограничено.

   Заменой переменных
                          1/3           
                     2mF               E
            ξ=                      x+
                      }2               F

при заданном E уравнение (2.24) приводится к
уравнению Эйри

                 Φ00 (ξ) + ξΦ(ξ) = 0            (2.25)
                                                          Рис. 2.4.
с граничными условиями

                   Φ(−∞) = 0;         Φ(+∞) ограничено,               (2.26)

где Φ(ξ) = Ψ(x).
   Решение уравнения (2.25) с граничными условиями (2.26) выража-
ется через функцию Эйри (см. Приложение Г.):

                              Φ(ξ) = CAi(−ξ).                         (2.27)

Мы не будем здесь выписывать явный вид нормировочной констан-
ты C.
   В дальнейшем нам понадобится асимптотический вид (2.27) вдали
от точек поворота (|ξ|  1), который может быть получен из известных
асимптотических выражений для функций Бесселя:
                                                          
                                        C          2 3/2
            при ξ → −∞        Φ(ξ) '         exp − |ξ|       ;
                                     2|ξ|1/4       3
                                                        
                                       C       2 3/2 π
            при ξ → +∞        Φ(ξ) ' 1/4 sin ξ       +     .
                                     ξ         3       4

Страницы