Квантовая теория. Ч. 1. Копытин И.В - 67 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

67
где ∇
2
θϕ
— угловая часть оператора Лапласа.
Запишем уравнение для собственных функций и собственных зна-
чений оператора
ˆ
L
2
в сферических координатах:
−}
2
1
sin θ
∂
∂θ
sin θ
∂
∂θ
+
1
sin
2
θ
∂
2
∂ϕ
2
Ψ(θ, ϕ) = (L
2
)Ψ(θ, ϕ). (2.31)
Собственное значение здесь следует понимать как единый символ, а не
«L в квадрате». Поэтому оно взято в скобки.
Граничные условия к уравнению (2.31) сводятся к периодичности
(для обеспечения однозначности):
Ψ(θ, ϕ) = Ψ(θ, ϕ + 2π); Ψ(θ, ϕ) = Ψ(θ + π, ϕ). (2.32)
Условие однозначности требует регулярности Ψ(θ, ϕ) в особых точках
θ = 0, π.
Решения уравнения (2.31) целесообразно искать с учетом опреде-
ленных значений L
z
вследствие его совместной измеримости с L
2
, т.е.
в факторизованном виде
Ψ(θ, ϕ) = Ψ
m
l
(θ, ϕ) = Θ
m
l
(θ) e
im
l
ϕ
, (2.33)
где m
l
— так называемое магнитное квантовое число, соответствующее
значению L
z
= m
l
}.
Подстановка (2.33) в (2.31) приводит к обыкновенному дифферен-
циальному уравнению для Θ(θ):
1
sin θ
d
dθ
sin θ
dΘ
m
l
dθ
−
m
2
l
sin
2
θ
Θ
m
l
(θ) + λΘ
m
l
(θ) = 0, (2.34)
где
λ = (L
2
)/}
2
. (2.35)
Заменой переменных t = cos θ (при этом из требования периодичности
по θ получаем, что sin θ = +
√
1 − t
2
) это уравнение преобразуем к виду:
d
dt
(1 − t
2
)
d
dt
−
m
2
l
1 − t
2
+ λ
Q
m
l
(t) = 0, (2.36)
где Q
m
l
(t) = Θ
m
l
(θ), |t| 6 1. Непрерывность его решений следует из
непрерывности коэффициентов при Θ
m
l
(t).
Уравнение (2.36) имеет регулярные в особых точках t = ±1 решения
при дискретных значениях λ:
λ = λ
l
= l(l + 1), где l = |m
l
|, |m
l
| + 1, . . .
                                     67


где ∇2θϕ — угловая часть оператора Лапласа.
   Запишем уравнение для собственных функций и собственных зна-
                     2
чений оператора L̂ в сферических координатах:
                                      2
                                            
           1   ∂         ∂        1    ∂
   −}2             sin θ      +    2      2
                                              Ψ(θ, ϕ) = (L2 )Ψ(θ, ϕ). (2.31)
         sin θ ∂θ        ∂θ     sin θ ∂ϕ
Собственное значение здесь следует понимать как единый символ, а не
«L в квадрате». Поэтому оно взято в скобки.
   Граничные условия к уравнению (2.31) сводятся к периодичности
(для обеспечения однозначности):

             Ψ(θ, ϕ) = Ψ(θ, ϕ + 2π);      Ψ(θ, ϕ) = Ψ(θ + π, ϕ).      (2.32)

Условие однозначности требует регулярности Ψ(θ, ϕ) в особых точках
θ = 0, π.
   Решения уравнения (2.31) целесообразно искать с учетом опреде-
ленных значений Lz вследствие его совместной измеримости с L2 , т.е.
в факторизованном виде

                   Ψ(θ, ϕ) = Ψml (θ, ϕ) = Θml (θ) eiml ϕ ,            (2.33)

где ml — так называемое магнитное квантовое число, соответствующее
значению Lz = ml }.
   Подстановка (2.33) в (2.31) приводит к обыкновенному дифферен-
циальному уравнению для Θ(θ):
                            
         1 d            dΘml      m2l
                  sin θ        −        Θml (θ) + λΘml (θ) = 0, (2.34)
       sin θ dθ          dθ      sin2 θ
где
                               λ = (L2 )/}2 .                         (2.35)
Заменой переменных t = cos√θ (при этом из требования периодичности
по θ получаем, что sin θ = + 1 − t2 ) это уравнение преобразуем к виду:
                                           
                  d        2 d    m2l
                     (1 − t )   −        + λ Qml (t) = 0,        (2.36)
                  dt          dt 1 − t2
где Qml (t) = Θml (θ), |t| 6 1. Непрерывность его решений следует из
непрерывности коэффициентов при Θml (t).
   Уравнение (2.36) имеет регулярные в особых точках t = ±1 решения
при дискретных значениях λ:

               λ = λl = l(l + 1),   где l = |ml |, |ml | + 1, . . .

Страницы