Квантовая теория. Ч. 1. Копытин И.В - 66 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

66
2.4. Момент количества движения (момент импуль-
са)
Трехмерное движение в микромире, как и в классической механике,
не всегда можно свести к трем независимым одномерным движениям.
В микромире трехмерное движение имеет некоторые качественные от-
личия от классической механики. Его изучение начнем с момента ко-
личества движения.
Момент количества движения материальной точки в классической
механике выражается через координату и импульс соотношением
L = [r × p].
В квантовой механике соответствующая величина называется также
орбитальным моментом и ей соответствует эрмитов оператор
ˆ
L = [r ×
ˆ
p]. (2.28)
В квантовой механике невозможно указать определенные значения L
ввиду совместной неизмеримости его декартовых компонент:
[
ˆ
L
x
,
ˆ
L
y
] = i}
ˆ
L
z
; [
ˆ
L
y
,
ˆ
L
z
] = i}
ˆ
L
x
; [
ˆ
L
z
,
ˆ
L
x
] = i}
ˆ
L
y
.
Совместно измеримыми здесь оказываются лишь L
2
и проекция L
на выделенное направление, например, L
z
. Собственные значения
ˆ
L
z
квантуются и равны целому числу постоянных Планка: L
z
= m},
m = 0, ±1, . . .. Соответствующие собственные функции также извест-
ны в полярных координатах (см. (1.50)). Ниже мы рассмотрим задачу
нахождения определенных значений L
2
.
Рассмотрение удобно провести в сферических координатах (r, θ, ϕ),
связанных с декартовыми известными соотношениями:
x = r sin θ cos ϕ; y = r sin θ sin ϕ; z = r cos θ,
где
r > 0; 0 6 ϕ 6 2π; 0 6 θ 6 π.
В сферических координатах оператор орбитального момента содержит
только угловые переменные:
ˆ
L
z
= −i}
∂
∂ϕ
; (2.29)
ˆ
L
2
= −}
2
∇
2
θϕ
= −}
2
1
sin θ
∂
∂θ
sin θ
∂
∂θ
+
1
sin
2
θ
∂
2
∂ϕ
2
, (2.30)
                                                     66


2.4.     Момент количества движения (момент импуль-
         са)
   Трехмерное движение в микромире, как и в классической механике,
не всегда можно свести к трем независимым одномерным движениям.
В микромире трехмерное движение имеет некоторые качественные от-
личия от классической механики. Его изучение начнем с момента ко-
личества движения.
   Момент количества движения материальной точки в классической
механике выражается через координату и импульс соотношением

                                              L = [r × p].

В квантовой механике соответствующая величина называется также
орбитальным моментом и ей соответствует эрмитов оператор

                                              L̂ = [r × p̂].                                  (2.28)

В квантовой механике невозможно указать определенные значения L
ввиду совместной неизмеримости его декартовых компонент:

            [L̂x , L̂y ] = i}L̂z ;          [L̂y , L̂z ] = i}L̂x ;   [L̂z , L̂x ] = i}L̂y .

Совместно измеримыми здесь оказываются лишь L2 и проекция L
на выделенное направление, например, Lz . Собственные значения L̂z
квантуются и равны целому числу постоянных Планка: Lz = m},
m = 0, ±1, . . .. Соответствующие собственные функции также извест-
ны в полярных координатах (см. (1.50)). Ниже мы рассмотрим задачу
нахождения определенных значений L2 .
   Рассмотрение удобно провести в сферических координатах (r, θ, ϕ),
связанных с декартовыми известными соотношениями:

               x = r sin θ cos ϕ;              y = r sin θ sin ϕ;       z = r cos θ,

где
                            r > 0;         0 6 ϕ 6 2π;         0 6 θ 6 π.
В сферических координатах оператор орбитального момента содержит
только угловые переменные:
                      ∂
       L̂z = −i}        ;                                                                     (2.29)
                     ∂ϕ
                                                                          
        2                                    1 ∂           ∂        1     ∂2
       L̂ = −}   2
                     ∇2θϕ   = −}   2
                                                     sin θ      +              ,              (2.30)
                                           sin θ ∂θ        ∂θ     sin2 θ ∂ϕ2

Страницы