Квантовая теория. Ч. 1. Копытин И.В - 68 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

68
Это присоединенные функции Лежандра P
|m
l
|
l
(t) (см. Приложение Д.).
Собственные значения L
2
выражаются через λ в соответствии с
(2.35):
(L
2
)
l
= }
2
l(l + 1), l = 0, 1, . . . (2.37)
Квантовое число l называется орбитальным.
Нормированные на единичной сфере собственные функции L
2
на-
зываются сферическими функциями:
Y
lm
l
(θ, ϕ) =
s
2l + 1
4π
(l − |m
l
|)!
(l + |m
l
|)!
P
|m
l
|
l
(cos θ) e
im
l
ϕ
. (2.38)
При заданном орбитальном квантовом числе l магнитное квантовое
число m
l
может принимать значения 0, ±1, . . . , ±l. Собственные зна-
чения
ˆ
L
2
не зависят от магнитного квантового числа, поэтому они
будут вырожденными с кратностью
g
l
= 2l + 1. (2.39)
Магнитное квантовое число m соответствует определенным значени-
ям L
z
. Поэтому собственные значения
ˆ
L
2
вырождены по величине L
z
.
Данный феномен есть следствие инвариантности оператора
ˆ
L
2
относи-
тельно поворотов системы координат вокруг начала координат.
Состояния с определенными значениями L
2
обладают и определен-
ной четностью:
Y
lm
(π −θ, π + ϕ) = (−1)
l
Y
lm
(θ, ϕ), т.е. P
l
= (−1)
l
. (2.40)
Таким образом, величина четности полностью определяется величиной
L
2
через орбитальное квантовое число.
Сферические функции образуют на единичной сфере полную орто-
нормированную систему — базис:
Z
2π
0
dϕ
Z
π
0
Y
∗
l
0
m
0
(θ, ϕ) Y
lm
(θ, ϕ) sin θ dθ = δ
l
0
l
δ
m
0
m
; (2.41)
∞
X
l=0
l
X
m=−l
Y
∗
lm
(θ
0
, ϕ
0
) Y
lm
(θ, ϕ) = δ(cos θ
0
− cos θ) δ(ϕ
0
− ϕ). (2.42)
                                                  68


                                                              |m |
Это присоединенные функции Лежандра Pl l (t) (см. Приложение Д.).
    Собственные значения L2 выражаются через λ в соответствии с
(2.35):
                               (L2 )l = }2 l(l + 1),      l = 0, 1, . . .               (2.37)
Квантовое число l называется орбитальным.
   Нормированные на единичной сфере собственные функции L2 на-
зываются сферическими функциями:
                        s
                          2l + 1 (l − |ml |)! |ml |
          Ylml (θ, ϕ) =                      P      (cos θ) eiml ϕ . (2.38)
                            4π (l + |ml |)! l

При заданном орбитальном квантовом числе l магнитное квантовое
число ml может принимать значения 0, ±1, . . . , ±l. Собственные зна-
        2
чения L̂ не зависят от магнитного квантового числа, поэтому они
будут вырожденными с кратностью

                                             gl = 2l + 1.                               (2.39)

Магнитное квантовое число m соответствует определенным значени-
                                       2
ям Lz . Поэтому собственные значения L̂ вырождены по величине Lz .
                                                         2
Данный феномен есть следствие инвариантности оператора L̂ относи-
тельно поворотов системы координат вокруг начала координат.
   Состояния с определенными значениями L2 обладают и определен-
ной четностью:

       Ylm (π − θ, π + ϕ) = (−1)l Ylm (θ, ϕ),                  т.е. Pl = (−1)l .        (2.40)

Таким образом, величина четности полностью определяется величиной
L2 через орбитальное квантовое число.
   Сферические функции образуют на единичной сфере полную орто-
нормированную систему — базис:
           Z     2π        Z   π
                      dϕ           Yl∗0 m0 (θ, ϕ) Ylm (θ, ϕ) sin θ dθ = δl0 l δm0 m ;   (2.41)
             0             0
     ∞ X
     X l
                   ∗
                 Ylm (θ0 , ϕ0 ) Ylm (θ, ϕ) = δ(cos θ0 − cos θ) δ(ϕ0 − ϕ).               (2.42)
     l=0 m=−l

Страницы