Квантовая теория. Ч. 1. Копытин И.В - 69 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

69
Приведем явный вид некоторых сферических функций, часто ис-
пользуемых в приложениях:
Y
00
(θ, ϕ) =
1
√
4π
;
Y
10
(θ, ϕ) =
r
3
4π
cos θ; Y
1±1
(θ, ϕ) = ∓
r
3
8π
sin θ e
±iϕ
.
(2.43)
Отметим следующий интересный факт: при |m| = l равенство
(L
2
)
l
= max L
2
z
= }
2
l
2
, очевидное из классических соображений, не
выполняется! Это прямое следствие совместной неизмеримости декар-
товых компонент L. Невозможно подобрать такое состояние, в кото-
ром вектор L был бы ориентирован строго вдоль оси Oz (рис. 2.5).
В противном случае это привело бы к нулевым (т.е. вполне опреде-
ленным) значениям проекций L
x
и L
y
наряду с L
z
, что невозможно
в силу их совместной неизмеримости. Таким образом, в любом состо-
янии вектор L с ненулевой вероятностью отклоняется от оси Oz, так
что hL
2
x
i = hL
2
y
i = }
2
l/2. Это и есть наглядное проявление совместной
неизмеримости проекций L. С ростом орбитального квантового числа
такая неопределенность сказывается все слабее: (L
2
− L
2
z
)/L
2
∼ l
−1
.
В классическом пределе (} → 0) этот эффект становится исчезающе
малым.
Квантовая теория углового момента чрезвычайно удобна для изу-
чения движения в центральном поле.
2.5. Общие свойства движения в центральном поле
Центральным называется поле, в котором потенциальная энергия
частицы зависит только от расстояния до силового центра и не за-
висит от направления радиуса вектора r: V (r) = V (|r|).
Задача о движении микрочастицы в постоянном центральном по-
ле является трехмерной и требует решения стационарного уравнения
Шредингера в частных производных. Однако сферическая симметрия
гамильтониана позволяет кардинально упростить задачу.
Исследуем движение точечной частицы с массой m в центральном
поле. Гамильтониан удобно представить в сферических координатах.
Вспоминая вид оператора Лапласа в сферической системе координат,
имеем:
ˆ
H = −
}
2
2m
1
r
2
∂
∂r
r
2
∂
∂r
+
ˆ
L
2
2mr
2
+ V (r). (2.44)
                                      69


   Приведем явный вид некоторых сферических функций, часто ис-
пользуемых в приложениях:
                     1
       Y00 (θ, ϕ) = √ ;
                     4π
                    r                               r                     (2.43)
                       3                                 3
       Y10 (θ, ϕ) =      cos θ;   Y1±1 (θ, ϕ) = ∓          sin θ e±iϕ .
                      4π                                8π
   Отметим следующий интересный факт: при |m| = l равенство
  2
(L )l = max L2z = }2 l2 , очевидное из классических соображений, не
выполняется! Это прямое следствие совместной неизмеримости декар-
товых компонент L. Невозможно подобрать такое состояние, в кото-
ром вектор L был бы ориентирован строго вдоль оси Oz (рис. 2.5).
В противном случае это привело бы к нулевым (т.е. вполне опреде-
ленным) значениям проекций Lx и Ly наряду с Lz , что невозможно
в силу их совместной неизмеримости. Таким образом, в любом состо-
янии вектор L с ненулевой вероятностью отклоняется от оси Oz, так
что hL2x i = hL2y i = }2 l/2. Это и есть наглядное проявление совместной
неизмеримости проекций L. С ростом орбитального квантового числа
такая неопределенность сказывается все слабее: (L2 − L2z )/L2 ∼ l−1 .
В классическом пределе (} → 0) этот эффект становится исчезающе
малым.
   Квантовая теория углового момента чрезвычайно удобна для изу-
чения движения в центральном поле.

2.5.    Общие свойства движения в центральном поле
   Центральным называется поле, в котором потенциальная энергия
частицы зависит только от расстояния до силового центра и не за-
висит от направления радиуса вектора r: V (r) = V (|r|).
   Задача о движении микрочастицы в постоянном центральном по-
ле является трехмерной и требует решения стационарного уравнения
Шредингера в частных производных. Однако сферическая симметрия
гамильтониана позволяет кардинально упростить задачу.
   Исследуем движение точечной частицы с массой m в центральном
поле. Гамильтониан удобно представить в сферических координатах.
Вспоминая вид оператора Лапласа в сферической системе координат,
имеем:
                                           2
                      }2 1 ∂      2 ∂      L̂
               Ĥ = −           r       +      + V (r).    (2.44)
                      2m r2 ∂r     ∂r     2mr2

Страницы