Квантовая теория. Ч. 1. Копытин И.В - 70 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

70
Данная форма гамильтониана представляется наиболее удобной для
исследования общих свойств движения в центральном поле.
Прежде всего, найдем интегралы
Рис. 2.5.
состояния. Полная энергия E являет-
ся интегралом состояния для всякого
стационарного состояния. В сфериче-
ской системе координат операторы
ˆ
L
2
и
ˆ
L
z
действуют только на угловые пе-
ременные (см. (2.29), (2.30)). Поэто-
му специфическими для центрально-
го поля интегралами состояния будут
также L
2
и L
z
вследствие коммута-
ции соответствующих операторов с га-
мильтонианом (2.44). Таким образом,
в центральном поле имеется три инте-
грала состояния.Число указанных ин-
тегралов состояния равно числу сте-
пеней свободы частицы. Все они независимы и измеримы совместно.
Поэтому данные интегралы состояния образуют полный набор. Их до-
статочно для максимально полного описания движения частицы в цен-
тральном поле.
Стационарное уравнение Шредингера с гамильтонианом (2.44)
ˆ
Hψ(r, θ, ϕ) = Eψ(r, θ, ϕ) (2.45)
является трехмерным дифференциальным уравнением в частных про-
изводных. Стандартным математическим методом разделения пере-
менных все три переменные можно разделить. Здесь, однако, более
удобным будет отделение угловых переменных из физических сообра-
жений.
Поскольку операторы (2.44),
ˆ
L
2
и
ˆ
L
z
коммутируют друг с другом,
у них есть общие собственные функции. Поэтому будем искать такие
решения уравнения Шредингера (2.45), которые автоматически удовле-
творяют и уравнениям (2.31), (1.50). Так как Y
lm
l
(θ, ϕ) — собственные
функция и
ˆ
L
2
, и
ˆ
L
z
, решение (2.45) следует искать в виде:
ψ(r, θ, ϕ) =
1
r
R(r) Y
lm
l
(θ, ϕ), (2.46)
где R(r) — неизвестная радиальная волновая функция. Множитель r
−1
введен для дальнейшего удобства (исключения первой производной в
                                     70


Данная форма гамильтониана представляется наиболее удобной для
исследования общих свойств движения в центральном поле.
    Прежде всего, найдем интегралы
состояния. Полная энергия E являет-
ся интегралом состояния для всякого
стационарного состояния. В сфериче-
                                    2
ской системе координат операторы L̂
и L̂z действуют только на угловые пе-
ременные (см. (2.29), (2.30)). Поэто-
му специфическими для центрально-
го поля интегралами состояния будут
также L2 и Lz вследствие коммута-
ции соответствующих операторов с га-
мильтонианом (2.44). Таким образом,
в центральном поле имеется три инте-
грала состояния.Число указанных ин-           Рис. 2.5.
тегралов состояния равно числу сте-
пеней свободы частицы. Все они независимы и измеримы совместно.
Поэтому данные интегралы состояния образуют полный набор. Их до-
статочно для максимально полного описания движения частицы в цен-
тральном поле.
    Стационарное уравнение Шредингера с гамильтонианом (2.44)

                       Ĥψ(r, θ, ϕ) = Eψ(r, θ, ϕ)               (2.45)

является трехмерным дифференциальным уравнением в частных про-
изводных. Стандартным математическим методом разделения пере-
менных все три переменные можно разделить. Здесь, однако, более
удобным будет отделение угловых переменных из физических сообра-
жений.                           2
   Поскольку операторы (2.44), L̂ и L̂z коммутируют друг с другом,
у них есть общие собственные функции. Поэтому будем искать такие
решения уравнения Шредингера (2.45), которые автоматически удовле-
творяют и уравнениям (2.31), (1.50). Так как Ylml (θ, ϕ) — собственные
             2
функция и L̂ , и L̂z , решение (2.45) следует искать в виде:

                                    1
                     ψ(r, θ, ϕ) =     R(r) Ylml (θ, ϕ),         (2.46)
                                    r

где R(r) — неизвестная радиальная волновая функция. Множитель r −1
введен для дальнейшего удобства (исключения первой производной в

Страницы