Квантовая теория. Ч. 1. Копытин И.В - 62 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

62
всех степенях ξ должны обратиться в нуль, откуда получаем следую-
щее рекуррентное соотношение для коэффициентов a
k
:
a
k+2
=
2k − (λ − 1)
(k + 2)(k + 1)
a
k
. (2.18)
Исследуем ряд (2.13) при условии (2.10). Рассмотрим его далекие
слагаемые (k 1). На основании (2.18) имеем:
a
k+2
a
k
k1
'
2
k
.
Но такому же соотношению удовлетворяют коэффициенты разложения
функции e
ξ
2
:
e
ξ
2
=
∞
X
m=0
ξ
2m
m!
=
X
k=0,2,...
1
(k/2)!
| {z }
a
k
ξ
k
.
Действительно,
a
k+2
a
k
=
[k/2]!
[(k + 2)/2]!
=
[k/2]!
[1 + k/2]!
=
2
k + 2
k1
'
2
k
.
Итак, ряд (2.16) для v(ξ) имеет асимптотику e
ξ
2
и функция Φ(ξ) в (2.13)
не удовлетворяет граничному условию (2.15), а именно, она растет
на бесконечности как e
ξ
2
/2
, что противоречит стандартному условию
конечности. Тем не менее, все же можно обеспечить выполнение усло-
вия (2.15), поскольку рекуррентное соотношение (2.18) содержит пока
произвольный параметр λ. Его можно подобрать так, чтобы ряд (2.16)
содержал конечное число слагаемых, т.е. стал полиномом. Действитель-
но, выбрав λ положительным нечетным
λ = λ
n
= 2n + 1, n = 0, 1, . . . , (2.19)
в соответствии c (2.18) получим:
a
n+2
=
2n − [(2n + 1) − 1]
(n + 1)(n + 2)
a
n
= 0 = a
n+4
= a
n+6
= . . . при a
n
6= 0.
При этом условии ряд (2.16), превратившись в полином конечной сте-
пени n, обеспечит выполнение условия (2.15).
Выясним смысл найденных значений λ. Этот безразмерный пара-
метр связан с энергией соотношением (2.7), поэтому с помощью (2.19)
находим значения энергий стационарных состояний осциллятора:
                                     62


всех степенях ξ должны обратиться в нуль, откуда получаем следую-
щее рекуррентное соотношение для коэффициентов ak :
                                   2k − (λ − 1)
                         ak+2 =                  ak .                      (2.18)
                                  (k + 2)(k + 1)
   Исследуем ряд (2.13) при условии (2.10). Рассмотрим его далекие
слагаемые (k  1). На основании (2.18) имеем:
                              ak+2              2
                                           '      .
                               ak    k1        k
Но такому же соотношению удовлетворяют коэффициенты разложения
          2
функции eξ :
                      X∞           X
                  ξ2      ξ 2m               1
                 e =           =                  ξk .
                           m!              (k/2)!
                      m=0        k=0,2,... | {z }
                                                      ak

Действительно,
             ak+2      [k/2]!        [k/2]!      2 k1 2
                  =              =            =     ' .
              ak    [(k + 2)/2]!   [1 + k/2]!   k+2    k
                                                       2
Итак, ряд (2.16) для v(ξ) имеет асимптотику eξ и функция Φ(ξ) в (2.13)
не удовлетворяет граничному условию (2.15), а именно, она растет
                          2
на бесконечности как eξ /2 , что противоречит стандартному условию
конечности. Тем не менее, все же можно обеспечить выполнение усло-
вия (2.15), поскольку рекуррентное соотношение (2.18) содержит пока
произвольный параметр λ. Его можно подобрать так, чтобы ряд (2.16)
содержал конечное число слагаемых, т.е. стал полиномом. Действитель-
но, выбрав λ положительным нечетным

                    λ = λn = 2n + 1,           n = 0, 1, . . . ,           (2.19)

в соответствии c (2.18) получим:
           2n − [(2n + 1) − 1]
  an+2 =                       an = 0 = an+4 = an+6 = . . .        при an 6= 0.
             (n + 1)(n + 2)
При этом условии ряд (2.16), превратившись в полином конечной сте-
пени n, обеспечит выполнение условия (2.15).
   Выясним смысл найденных значений λ. Этот безразмерный пара-
метр связан с энергией соотношением (2.7), поэтому с помощью (2.19)
находим значения энергий стационарных состояний осциллятора:

Страницы