Квантовая теория. Ч. 1. Копытин И.В - 58 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

58
или Ψ
00
1
Ψ
2
− Ψ
1
Ψ
00
2
= 0 (штрих означает дифференцирование по x).
Интегрируя это соотношение, находим:
Ψ
0
1
Ψ
2
− Ψ
1
Ψ
0
2
= const. (2.3)
Поскольку в соответствии с (2.2) Ψ
1
(±∞) = Ψ
2
(±∞) = 0, то константа
в (2.3) должна тоже быть равной нулю, так что Ψ
0
1
/Ψ
1
= Ψ
0
2
/Ψ
2
. Ин-
тегрируя еще раз, получим Ψ
1
= const ·Ψ
2
, т.е. линейную зависимость
функций Ψ
1
и Ψ
2
. А это противоречит исходному предположению, т.е.
Ψ
1
и Ψ
2
задают одно и то же состояние.
2. Волновые функции стационарных состояний вещественны. Для
координатных частей волновых функций всегда можно выбрать посто-
янный фазовый множитель так, чтобы их мнимые части обратились в
нуль. Доказательство данного утверждения также проводится от про-
тивного. Предположим, что функция Ψ
E
(x) остается комплексной при
любом выборе нормировочной константы. Тогда, вследствие веществен-
ности V (x) и E, ее вещественная и мнимая части тоже будут линейно
независимыми собственными функциями, соответствующими одному
и тому же значению энергии E. Но это означает вырождение энер-
гетического уровня E, что противоречит ранее доказанному утвер-
ждению. На основании (1.93) можно заключить, что при одномерном
движении в связанных стационарных состояниях токи отсутству-
ют.
3. Выполняется осцилляционная теорема. Если основное состояние
нумеровать нулем, первое возбужденное — единицей и т.д., то внутри
области движения частицы (за исключением границ) ее координатная
волновая функция, соответствующая n-му возбужденному состоянию,
обратится в нуль ровно n раз. Данное нетривиальное свойство доказы-
вается в курсе функционального анализа.
4. При симметричной (относительно x = 0) потенциальной энер-
гии, V (x) = V (−x), все волновые функции стационарных состоя-
ний являются либо четными (Ψ
E
(−x) = Ψ
E
(x)), либо нечетными
(Ψ
E
(−x) = −Ψ
E
(x)). Действительно, в силу симметрии гамильтониана,
если Ψ
E
(x) есть решение, то таковым является и Ψ
E
(−x), а вследствие
невырожденности спектра они могут отличаться лишь на численный
фактор: Ψ
E
(−x) = cΨ
E
(x). Меняя в этом соотношении еще раз знак x
у Ψ
E
(x) (Ψ
E
(x) = cΨ
E
(−x)), получаем c
2
= 1, откуда c = ±1, что и
доказывает сделанное утверждение.
К таким же одномерным уравнениям (2.1) приводится, очевид-
но, задача о трехмерном движении в поле с потенциальной энергией
V (x, y, z) = V
1
(x) + V
2
(y) + V
3
(z), разбивающейся на сумму функций,
                                  58


или Ψ001 Ψ2 − Ψ1 Ψ002 = 0 (штрих означает дифференцирование по x).
Интегрируя это соотношение, находим:

                        Ψ01 Ψ2 − Ψ1 Ψ02 = const.                  (2.3)

Поскольку в соответствии с (2.2) Ψ1 (±∞) = Ψ2 (±∞) = 0, то константа
в (2.3) должна тоже быть равной нулю, так что Ψ01 /Ψ1 = Ψ02 /Ψ2 . Ин-
тегрируя еще раз, получим Ψ1 = const · Ψ2 , т.е. линейную зависимость
функций Ψ1 и Ψ2 . А это противоречит исходному предположению, т.е.
Ψ1 и Ψ2 задают одно и то же состояние.
    2. Волновые функции стационарных состояний вещественны. Для
координатных частей волновых функций всегда можно выбрать посто-
янный фазовый множитель так, чтобы их мнимые части обратились в
нуль. Доказательство данного утверждения также проводится от про-
тивного. Предположим, что функция ΨE (x) остается комплексной при
любом выборе нормировочной константы. Тогда, вследствие веществен-
ности V (x) и E, ее вещественная и мнимая части тоже будут линейно
независимыми собственными функциями, соответствующими одному
и тому же значению энергии E. Но это означает вырождение энер-
гетического уровня E, что противоречит ранее доказанному утвер-
ждению. На основании (1.93) можно заключить, что при одномерном
движении в связанных стационарных состояниях токи отсутству-
ют.
    3. Выполняется осцилляционная теорема. Если основное состояние
нумеровать нулем, первое возбужденное — единицей и т.д., то внутри
области движения частицы (за исключением границ) ее координатная
волновая функция, соответствующая n-му возбужденному состоянию,
обратится в нуль ровно n раз. Данное нетривиальное свойство доказы-
вается в курсе функционального анализа.
    4. При симметричной (относительно x = 0) потенциальной энер-
гии, V (x) = V (−x), все волновые функции стационарных состоя-
ний являются либо четными (ΨE (−x) = ΨE (x)), либо нечетными
(ΨE (−x) = −ΨE (x)). Действительно, в силу симметрии гамильтониана,
если ΨE (x) есть решение, то таковым является и ΨE (−x), а вследствие
невырожденности спектра они могут отличаться лишь на численный
фактор: ΨE (−x) = cΨE (x). Меняя в этом соотношении еще раз знак x
у ΨE (x) (ΨE (x) = cΨE (−x)), получаем c2 = 1, откуда c = ±1, что и
доказывает сделанное утверждение.
    К таким же одномерным уравнениям (2.1) приводится, очевид-
но, задача о трехмерном движении в поле с потенциальной энергией
V (x, y, z) = V1 (x) + V2 (y) + V3 (z), разбивающейся на сумму функций,

Страницы