Квантовая теория. Ч. 2. Копытин И.В - 16 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

1.5. Формула квантования Бора–Зоммерфельда.
Нормировка квазиклассических волновых
функций
Классическая частица в потенциальной яме, изображенной на
рис. 1.1., совершает финитное (колебательное) движение при произ-
вольном значении энергии E > V
min
. В квантовой теории энергия
частицы в потенциальной яме принимает ряд определенных дискрет-
ных значений — говорят, что энергия квантуется. Поэтому интересным
представляется вопрос о выводе соотношения для квантовых уровней
энергии частицы в потенциальной яме в квазиклассическом приближе-
нии.
Как было показано выше, в классически недоступных областях (I
и III на рис. 1.1.) волновая функция экспоненциально затухает при
удалении от точки поворота (см., например, выражение (1.29)). В то
же время в классически доступной области (II на рис. 1.1.) она осцил-
лирует и может быть записана двумя способами, исходя из формул
сопряжения (1.35) или (1.36)):
Ψ
II
(x) =
B
p
p(x)
sin
1
}
Z
x
a
p(x
0
) dx
0
+
π
4
, (1.37)
или
˜
Ψ
II
(x) =
D
p
p(x)
sin
"
1
}
Z
b
x
p(x
0
) dx
0
+
π
4
#
. (1.38)
Функции Ψ
II
(x) и
˜
Ψ
II
(x) обеспечивают «плавный» (в смысле, пояснён-
ном в предыдущем разделе) переход между областями I→II и II→III
в соответствии с (1.35), (1.36), а в области II, очевидно, они должны
быть идентичными, что и обеспечит однозначную определённость пол-
ной квазиклассической волновой функции во всех областях I — III.
Достаточным условием для этого является равенство функций Ψ
II
(x)
и
˜
Ψ
II
(x) и их производных в произвольной (но достаточно удаленной
от точек поворота a и b) точке x = x
i
. Это условие дает систему двух
линейных уравнений для определения коэффициентов B и D (точнее
их отношения, поскольку система однородная), которую мы запишем в
матричной форме:
sin
1
}
x
i
R
a
p(x
0
)dx
0
+
π
4
−sin
1
}
b
R
x
i
p(x
0
)dx
0
+
π
4
!
cos
1
}
x
i
R
a
p(x
0
)dx
0
+
π
4
cos
1
}
b
R
x
i
p(x
0
)dx
0
+
π
4
!
"
B
D
#
=
"
0
0
#
.
(1.39)
16
1.5.   Формула квантования Бора–Зоммерфельда.
       Нормировка  квазиклассических волновых
       функций
   Классическая частица в потенциальной яме, изображенной на
рис. 1.1., совершает финитное (колебательное) движение при произ-
вольном значении энергии E > Vmin . В квантовой теории энергия
частицы в потенциальной яме принимает ряд определенных дискрет-
ных значений — говорят, что энергия квантуется. Поэтому интересным
представляется вопрос о выводе соотношения для квантовых уровней
энергии частицы в потенциальной яме в квазиклассическом приближе-
нии.
   Как было показано выше, в классически недоступных областях (I
и III на рис. 1.1.) волновая функция экспоненциально затухает при
удалении от точки поворота (см., например, выражение (1.29)). В то
же время в классически доступной области (II на рис. 1.1.) она осцил-
лирует и может быть записана двумя способами, исходя из формул
сопряжения (1.35) или (1.36)):
                                     Z x              
                           B         1       0    0  π
               ΨII (x) = p      sin       p(x ) dx +     ,      (1.37)
                           p(x)      } a             4
или                                 " Z                  #
                                        b
                          D          1                 π
              Ψ̃II (x) = p      sin       p(x0 ) dx0 +     .    (1.38)
                           p(x)      } x               4
Функции ΨII (x) и Ψ̃II (x) обеспечивают «плавный» (в смысле, пояснён-
ном в предыдущем разделе) переход между областями I→II и II→III
в соответствии с (1.35), (1.36), а в области II, очевидно, они должны
быть идентичными, что и обеспечит однозначную определённость пол-
ной квазиклассической волновой функции во всех областях I — III.
Достаточным условием для этого является равенство функций ΨII (x)
и Ψ̃II (x) и их производных в произвольной (но достаточно удаленной
от точек поворота a и b) точке x = xi . Это условие дает систему двух
линейных уравнений для определения коэффициентов B и D (точнее
их отношения, поскольку система однородная), которую мы запишем в
матричной форме:
       xi                                        ! 
           R                         R b
 sin }1 p(x0 )dx0 + π4     − sin }1 p(x0 )dx0 + π4  "     # " #
                                                     
      
           a
                         
                                     xi
                                                   !  B = 0 .
          Rxi                      Rb                
        1      0  0   π          1      0  0    π     D         0
   cos } p(x )dx + 4         cos } p(x )dx + 4
         a                          xi
                                                                (1.39)


                                   16

Страницы