Квантовая теория. Ч. 2. Копытин И.В - 18 стр.

(p, x) — фазовом пространстве частицы. Разделив эту площадь на клет-
ки площадью 2π} каждая, мы получим всего n клеток. Но n есть число
квантовых состояний с энергиями, не превышающими значения En , со-
ответствующего рассматриваемой фазовой траектории. Таким образом,
можно сказать, что в квазиклассическом случае каждому квантовому
состоянию системы соответствует клетка в фазовом пространстве пло-
щадью 2π}. Другими словами, число квантовых состояний, приходя-
щихся на элемент объема фазового пространства ∆p ∆x , есть
                                ∆p ∆x
                                      .
                                (2π})
Понятие о «клетках» в фазовом пространстве применимо и в общем
случае системы с s степенями свободы, только теперь на элемент ∆V
2s-мерного фазового объема приходится
                    ∆V     ∆q1 . . . ∆qs ∆p1 . . . ∆ps
                         =
                  (2π})s              (2π})s
квантовых состояний. В частности, для электрона (в конечном объе-
ме квантования V = L3 ) число состояний, приходящихся на интервал
импульсов dp (от p до p + dp), есть

                  V dp    V dpx dpy dpz   V p2 dp dΩ
                        =               =            .        (1.42)
                 (2π})3      (2π})3        (2π})3

    Исходя из правила квантования Бора–Зоммерфельда, можно выяс-
нить общий характер распределения уровней в энергетическом спектре.
Пусть ∆E есть расстояние между двумя соседними уровнями, т. е. уров-
нями с отличающимися на единицу квантовыми числами n. Поскольку
∆E мало (при больших n) по сравнению с самой энергией E, то из-
менением положения точек поворота a и b (или деформацией контура
интегрирования в (1.41)) при переходе от E к E + ∆E можно прене-
бречь. Поэтому разность выражений (1.41) для двух соседних уровней
(с квантовыми числами n+1 и n) можно записать следующим образом:
       I              I           I                            I
                                                                  ∂p
2π} = p(E+∆E) dx− p(E) dx ≈ (p(E+∆E)−p(E)) dx = ∆E                   dx.
                                                                 ∂E
Но ∂E/∂p = v = p/m — классическая скорость, так что
                     I          I
                        ∂p         dx
                           dx =       = T.                    (1.43)
                       ∂E           v
В результате для ∆E получаем следующее соотношение:
                                  2π}
                          ∆E ≈        = }ω.
                                   T

                                  18