Квантовая теория. Ч. 2. Копытин И.В - 19 стр.

Здесь T и ω — период и частота колебательного движения классической
частицы с энергией E в потенциальной яме. Таким образом, расстоя-
ние между соседними уровнями оказывается равным }ω. Хотя частота
ω (как и период T ) зависит от E, для целого ряда соседних уровней
(разность номеров n которых мала по сравнению с самим n) соответ-
ствующие частоты ω можно приближенно считать одинаковыми. По-
этому мы приходим к выводу, что в каждом небольшом участке ква-
зиклассической части спектра уровни расположены эквидистантно, с
интервалом }ω.
   Вычислим теперь нормировочный множитель в квазиклассической
волновой функции. Поскольку волновая функция в классически недо-
ступных областях (x < a и x > b) экспоненциально затухает, вклад в
нормировочный интеграл от этих областей экспоненциально мал. Та-
ким образом, имеем:
                 Z   ∞                  Z    b
                               2
                          |Ψ(x)| dx ≈            |ΨII (x)|2 dx = 1.              (1.44)
                     −∞                  a

Подставляя явный вид ΨII (x) (см. (1.37)) в (1.44) и учитывая, что ква-
зиклассическая функция быстро осциллирует (это означает, что квад-
рат синуса может быть заменен на 1/2), получим:
               " Z       #−1/2     1/2      1/2
                1 b dx           4m        2mω
            B=                =         =           ,                            (1.45)
                2 a p(x)          T         π

где T — классический период колебаний частицы с заданной энергией
в яме, определяемый соотношением (1.43).
   Появление периода классического движения в нормировке (1.45)
не случайно и связано с вопросом в чем состоит «классичность»
квазиклассической волновой функции (1.37)4 . Действительно, соглас-
но (1.37), (1.45), вероятность обнаружения частицы на интервале dx
(усредненная по n+1 осцилляциям квадрата синуса на интервале (a, b))
есть
                                         2m dx     2 dx
                dW (x) = |ΨII (x)|2 dx ≈         =
                                          T p(x)   T v(x)
в точном соответствии с классическим результатом dWcl (x) =
2 dx/(T v(x)) = 2 dt/T, где dt — время, проводимое частицей на ин-
тервале dx.
  4А
                                                            p
     также с физическим истолкованием множителя 1/              p(x) в квазиклассических
волновых функциях.




                                        19