Квантовая теория. Ч. 2. Копытин И.В - 14 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

Рис. 1.2.
известно в аналитическом виде и выражается через функцию Эйри (см.
Приложение Б.):
Ψ(x) = B Ai(ξ), ξ =
2mF
}
2
1/3
(a −x). (1.33)
Для корректного перехода из области I в область II необходимо, что-
бы внутри интервала [a
1
, a
2
] и функция Ψ
I
(x), и функция Ψ
II
(x) непре-
рывно переходили в (1.33).
Согласно (1.19), границы области, в которой надо использовать ре-
шение (1.33) уравнения (1.32), определяются неравенством (получить
его самим!):
|x − a|
3/2
}
√
mF
, или |ξ| 1.
Нас интересуют решения (1.32) только на границах этой области. Сле-
довательно, функцию Ψ на границах области можно выразить через
асимптотические выражения для функций Эйри при |ξ| 1 (см. При-
ложение Б.). При x > a p(x) =
p
2mF (x −a), следовательно,
2
3
} ξ
3/2
=
2
3
p
2mF (x − a)
3
=
Z
x
a
p(x
0
) dx
0
.
При x < a p(x) =
p
2mF (a − x), следовательно,
2
3
} |ξ|
3/2
=
2
3
p
2mF (a − x)
3
=
Z
a
x
|p(x
0
)|dx
0
.
Итак, квазиклассическое решение на границах интервала [a
1
, a
2
],
полученное как предельный случай точного решения уравнения Шре-
дингера во всём интервале [a
1
, a
2
], можно записать (с точностью до
14
                                Рис. 1.2.


известно в аналитическом виде и выражается через функцию Эйри (см.
Приложение Б.):
                                                 1/3
                                            2mF
              Ψ(x) = B Ai(ξ),      ξ=                    (a − x).   (1.33)
                                             }2

Для корректного перехода из области I в область II необходимо, что-
бы внутри интервала [a1 , a2 ] и функция ΨI (x), и функция ΨII (x) непре-
рывно переходили в (1.33).
   Согласно (1.19), границы области, в которой надо использовать ре-
шение (1.33) уравнения (1.32), определяются неравенством (получить
его самим!):
                                  }
                 |x − a|3/2  √      , или |ξ|  1.
                                  mF
Нас интересуют решения (1.32) только на границах этой области. Сле-
довательно, функцию Ψ на границах области можно выразить через
асимптотические выражения дляpфункций Эйри при |ξ|  1 (см. При-
ложение Б.). При x > a p(x) = 2mF (x − a), следовательно,
                                            Z x
               2 3/2       2p
                 }ξ      =               3
                              2mF (x − a) =     p(x0 ) dx0 .
               3           3                 a
                     p
При x < a p(x) = 2mF (a − x), следовательно,
                                            Z a
             2       3/2   2p
               } |ξ|     =               3
                              2mF (a − x) =     |p(x0 )| dx0 .
             3             3                 x

   Итак, квазиклассическое решение на границах интервала [a1 , a2 ],
полученное как предельный случай точного решения уравнения Шре-
дингера во всём интервале [a1 , a2 ], можно записать (с точностью до


                                   14

Страницы