Квантовая теория. Ч. 2. Копытин И.В - 13 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

1.4. Граничные условия в методе ВКБ
Практическое использование квазиклассических волновых функций
возможно лишь в том случае, когда известна связь осциллирующего
решения (1.27) с экспоненциальным (1.28) при переходе через точки
поворота, т. е. связь между константами C
1
, C
2
, C
0
1
, C
0
2
. Однако для
непрерывной в точке поворота потенциальной энергии V (x) обычная
процедура сшивания функций, заключающаяся в приравнивании их
логарифмических производных в соседних областях, является незакон-
ной, поскольку в окрестности этой точки условия применимости ква-
зиклассического приближения (1.19) не выполняются (p = 0). В этом
случае используют так называемые формулы сопряжения.
Получим формулу сопряжения для левой точки поворота a
(рис. 1.2.). Выделим около нее область [a
1
, a
2
], в которой квазикласси-
ческое приближение неприменимо (эта область на рисунке заштрихо-
вана). В областях I (x < a
1
) и II (x > a
2
) можно использовать функции
квазиклассического приближения (1.28) и (1.27) соответственно. Будем
обозначать их Ψ
I
(x) и Ψ
II
(x). В качестве нижнего предела фазовых
интегралов удобно взять x
0
= a. Чтобы Ψ
I
(x) убывала вглубь класси-
чески недоступной области I, необходимо в (1.28) положить C
0
1
= 0,
C
0
2
≡ C 6= 0:
Ψ
I
(x) =
C
p
|p(x)|
exp
−
1
}
Z
a
x
|p(x
0
)|dx
0
. (1.29)
Справа от точки поворота (x > a
2
) осциллирующую функцию Ψ
II
(x)
тоже удобно записать в вещественной форме:
Ψ
II
(x) =
A
p
p(x)
sin
1
}
Z
x
a
p(x
0
) dx
0
+ α
, (1.30)
вводя в (1.27) вместо произвольных постоянных C
1
и C
2
новые посто-
янные A и α: C
1
= (−i/2)A exp(iα), C
2
= (i/2)A exp(−iα).
Если область [a
1
, a
2
] достаточно мала, потенциальную энергию
внутри нее можно линеаризовать, разлагая V (x) в ряд в точке x = a:
V (x) ≈ E − F (x − a), F =
dV
dx
x=a
. (1.31)
Точное решение уравнения Шредингера в однородном поле F (1.31)
}
2
2m
d
2
dx
2
+ F (x − a)
Ψ(x) = 0 (1.32)
13
1.4.   Граничные условия в методе ВКБ
    Практическое использование квазиклассических волновых функций
возможно лишь в том случае, когда известна связь осциллирующего
решения (1.27) с экспоненциальным (1.28) при переходе через точки
поворота, т. е. связь между константами C1 , C2 , C10 , C20 . Однако для
непрерывной в точке поворота потенциальной энергии V (x) обычная
процедура сшивания функций, заключающаяся в приравнивании их
логарифмических производных в соседних областях, является незакон-
ной, поскольку в окрестности этой точки условия применимости ква-
зиклассического приближения (1.19) не выполняются (p = 0). В этом
случае используют так называемые формулы сопряжения.
    Получим формулу сопряжения для левой точки поворота a
(рис. 1.2.). Выделим около нее область [a1 , a2 ], в которой квазикласси-
ческое приближение неприменимо (эта область на рисунке заштрихо-
вана). В областях I (x < a1 ) и II (x > a2 ) можно использовать функции
квазиклассического приближения (1.28) и (1.27) соответственно. Будем
обозначать их ΨI (x) и ΨII (x). В качестве нижнего предела фазовых
интегралов удобно взять x0 = a. Чтобы ΨI (x) убывала вглубь класси-
чески недоступной области I, необходимо в (1.28) положить C10 = 0,
C20 ≡ C 6= 0:
                                            Z              
                            C             1 a       0     0
                ΨI (x) = p         exp −        |p(x )| dx .       (1.29)
                           |p(x)|         } x

Справа от точки поворота (x > a2 ) осциллирующую функцию ΨII (x)
тоже удобно записать в вещественной форме:
                                    Z x               
                          A         1
              ΨII (x) = p      sin       p(x0 ) dx0 + α , (1.30)
                          p(x)      } a

вводя в (1.27) вместо произвольных постоянных C1 и C2 новые посто-
янные A и α: C1 = (−i/2)A exp(iα), C2 = (i/2)A exp(−iα).
   Если область [a1 , a2 ] достаточно мала, потенциальную энергию
внутри нее можно линеаризовать, разлагая V (x) в ряд в точке x = a:
                                                
                                              dV
              V (x) ≈ E − F (x − a),   F =             .       (1.31)
                                              dx x=a

Точное решение уравнения Шредингера в однородном поле F (1.31)
                   2 2               
                    } d
                           + F (x − a) Ψ(x) = 0            (1.32)
                    2m dx2


                                   13

Страницы