Квантовая теория. Ч. 2. Копытин И.В - 11 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

Решение уравнения (1.22) будем искать в виде разложения неизвестной
функции σ(x) по степеням малого параметра }:
σ(x) = σ
0
(x) +
}
i
σ
1
(x) +
}
i
2
σ
2
(x) + . . . (1.23)
Данная процедура называется методом Вентцеля–Крамерса–
Бриллюэна (ВКБ). Подставим разложение (1.23) в (1.22) и приравняем
нулю слагаемые с одинаковыми степенями малого параметра }. Для
степени “0” получаем:
σ
0
0
= ±
p
2m[E −V (x)] = ±p(x) (1.24)
— классический импульс, откуда
σ
0
(x) = ±
Z
x
p(x
0
) dx
0
. (1.25)
Слагаемые степени “1” связаны следующим уравнением:
σ
0
1
= −
1
2
σ
00
0
σ
0
0
=
d
dx
ln
1
p
|σ
0
0
|
(1.24)
=
d
dx
ln
1
p
|p(x)|
,
откуда
σ
1
= ln
1
p
|p(x)|
+ const. (1.26)
Слагаемые второго порядка малости используются редко и мы их не
учитываем. Подставляя явный вид σ
0
(x) и σ
1
(x) в (1.21) и (1.23), для
волновой функции Ψ(x) получаем:
Ψ(x) =
C
1
p
|p(x)|
exp
−
i
}
Z
x
p(x
0
) dx
0
+
C
2
p
|p(x)|
exp
+
i
}
Z
x
p(x
0
) dx
0
,
(1.27)
где C
1
и C
2
— некоторые константы в соответствии с тем, что общее
решение уравнения 2-го порядка для Ψ(x) содержит две произвольные
константы.
Характер полученной волновой функции (1.27) существенно зави-
сит от знака разности E −V (x). В так называемой классически доступ-
ной области движения, где E > V (x), импульс является вещественным
и волновая функция (1.27) осциллирует с изменением x. Совершенно
иная ситуация наблюдается в классически недоступной области, где
E < V (x). Здесь импульс становится мнимым (p(x) = i |p(x)|), а волно-
вая функция, в отличие от (1.27), имеет вид суперпозиции двух веще-
ственных экспонент:
11
Решение уравнения (1.22) будем искать в виде разложения неизвестной
функции σ(x) по степеням малого параметра }:
                                       2
                            }           }
             σ(x) = σ0 (x) + σ1 (x) +       σ2 (x) + . . .    (1.23)
                             i          i
Данная процедура называется методом Вентцеля–Крамерса–
Бриллюэна (ВКБ). Подставим разложение (1.23) в (1.22) и приравняем
нулю слагаемые с одинаковыми степенями малого параметра }. Для
степени “0” получаем:
                          p
                   σ00 = ± 2m[E − V (x)] = ±p(x)             (1.24)

— классический импульс, откуда
                                        Z   x
                           σ0 (x) = ±           p(x0 ) dx0 .                 (1.25)

Слагаемые степени “1” связаны следующим уравнением:
                      1 σ000    d      1         (1.24)    d       1
            σ10 = −          =    ln p             =         ln p        ,
                      2 σ00    dx      |σ00 |             dx      |p(x)|
откуда
                                        1
                           σ1 = ln p              + const.                   (1.26)
                                       |p(x)|
Слагаемые второго порядка малости используются редко и мы их не
учитываем. Подставляя явный вид σ0 (x) и σ1 (x) в (1.21) и (1.23), для
волновой функции Ψ(x) получаем:
                        Z                              Z           
           C1          i x      0   0      C2           i x    0    0
Ψ(x) = p         exp −      p(x ) dx + p          exp +     p(x ) dx ,
          |p(x)|       }                   |p(x)|       }
                                                                 (1.27)
где C1 и C2 — некоторые константы в соответствии с тем, что общее
решение уравнения 2-го порядка для Ψ(x) содержит две произвольные
константы.
   Характер полученной волновой функции (1.27) существенно зави-
сит от знака разности E − V (x). В так называемой классически доступ-
ной области движения, где E > V (x), импульс является вещественным
и волновая функция (1.27) осциллирует с изменением x. Совершенно
иная ситуация наблюдается в классически недоступной области, где
E < V (x). Здесь импульс становится мнимым (p(x) = i |p(x)|), а волно-
вая функция, в отличие от (1.27), имеет вид суперпозиции двух веще-
ственных экспонент:


                                        11

Страницы