ВУЗ:
Составители:
Решение уравнения (1.22) будем искать в виде разложения неизвестной
функции σ(x) по степеням малого параметра }:
σ(x) = σ
0
(x) +
}
i
σ
1
(x) +
}
i
2
σ
2
(x) + . . . (1.23)
Данная процедура называется методом Вентцеля–Крамерса–
Бриллюэна (ВКБ). Подставим разложение (1.23) в (1.22) и приравняем
нулю слагаемые с одинаковыми степенями малого параметра }. Для
степени “0” получаем:
σ
0
0
= ±
p
2m[E −V (x)] = ±p(x) (1.24)
— классический импульс, откуда
σ
0
(x) = ±
Z
x
p(x
0
) dx
0
. (1.25)
Слагаемые степени “1” связаны следующим уравнением:
σ
0
1
= −
1
2
σ
00
0
σ
0
0
=
d
dx
ln
1
p
|σ
0
0
|
(1.24)
=
d
dx
ln
1
p
|p(x)|
,
откуда
σ
1
= ln
1
p
|p(x)|
+ const. (1.26)
Слагаемые второго порядка малости используются редко и мы их не
учитываем. Подставляя явный вид σ
0
(x) и σ
1
(x) в (1.21) и (1.23), для
волновой функции Ψ(x) получаем:
Ψ(x) =
C
1
p
|p(x)|
exp
−
i
}
Z
x
p(x
0
) dx
0
+
C
2
p
|p(x)|
exp
+
i
}
Z
x
p(x
0
) dx
0
,
(1.27)
где C
1
и C
2
— некоторые константы в соответствии с тем, что общее
решение уравнения 2-го порядка для Ψ(x) содержит две произвольные
константы.
Характер полученной волновой функции (1.27) существенно зави-
сит от знака разности E −V (x). В так называемой классически доступ-
ной области движения, где E > V (x), импульс является вещественным
и волновая функция (1.27) осциллирует с изменением x. Совершенно
иная ситуация наблюдается в классически недоступной области, где
E < V (x). Здесь импульс становится мнимым (p(x) = i |p(x)|), а волно-
вая функция, в отличие от (1.27), имеет вид суперпозиции двух веще-
ственных экспонент:
11
Решение уравнения (1.22) будем искать в виде разложения неизвестной функции σ(x) по степеням малого параметра }: 2 } } σ(x) = σ0 (x) + σ1 (x) + σ2 (x) + . . . (1.23) i i Данная процедура называется методом Вентцеля–Крамерса– Бриллюэна (ВКБ). Подставим разложение (1.23) в (1.22) и приравняем нулю слагаемые с одинаковыми степенями малого параметра }. Для степени “0” получаем: p σ00 = ± 2m[E − V (x)] = ±p(x) (1.24) — классический импульс, откуда Z x σ0 (x) = ± p(x0 ) dx0 . (1.25) Слагаемые степени “1” связаны следующим уравнением: 1 σ000 d 1 (1.24) d 1 σ10 = − = ln p = ln p , 2 σ00 dx |σ00 | dx |p(x)| откуда 1 σ1 = ln p + const. (1.26) |p(x)| Слагаемые второго порядка малости используются редко и мы их не учитываем. Подставляя явный вид σ0 (x) и σ1 (x) в (1.21) и (1.23), для волновой функции Ψ(x) получаем: Z Z C1 i x 0 0 C2 i x 0 0 Ψ(x) = p exp − p(x ) dx + p exp + p(x ) dx , |p(x)| } |p(x)| } (1.27) где C1 и C2 — некоторые константы в соответствии с тем, что общее решение уравнения 2-го порядка для Ψ(x) содержит две произвольные константы. Характер полученной волновой функции (1.27) существенно зави- сит от знака разности E − V (x). В так называемой классически доступ- ной области движения, где E > V (x), импульс является вещественным и волновая функция (1.27) осциллирует с изменением x. Совершенно иная ситуация наблюдается в классически недоступной области, где E < V (x). Здесь импульс становится мнимым (p(x) = i |p(x)|), а волно- вая функция, в отличие от (1.27), имеет вид суперпозиции двух веще- ственных экспонент: 11
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 9
- 10
- 11
- 12
- 13
- …
- следующая ›
- последняя »