Квантовая теория. Ч. 2. Копытин И.В - 9 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

где S(r, t) — некоторая новая неизвестная функция. Подстановка (1.9)
в уравнение (1.8) приводит к следующему уравнению для S(r, t):
∂S
∂t
+
(∇S)
2
2m
+ V (r, t) −
i}
2m
∇
2
S = 0. (1.10)
Если пренебречь последним слагаемым, пропорциональным }, урав-
нение (1.10) совпадает по форме с классическим уравнением
Гамильтона–Якоби:
∂S
∂t
+
(∇S)
2
2m
+ V (r, t) = 0, (1.11)
где S имеет смысл классического действия. Если потенциальная энер-
гия не зависит от времени [V (r, t) = V (r)], то в уравнениях (1.10) и
(1.11) пространственные и временные переменные разделяются и S(r, t)
можно представить в виде:
S(r, t) = S
0
(r) − Et, (1.12)
где S
0
(r) — так называемое укороченное действие. Подставляя (1.12) в
(1.10), получим:
(∇S
0
)
2
2m
+ V (r) −
i}
2m
∇
2
S
0
= E, (1.13)
что отличается от соответствующего классического уравнения
Гамильтона–Якоби для укороченного действия
(∇S
0
)
2
2m
+ V (r) = E (1.14)
отсутствием в левой части слагаемого, пропорционального } [сравни
(1.10) с (1.11)].
Исследуем более подробно переход от (1.13) к (1.14). Легко видеть,
что он возможен при выполнении неравенства
}|∇
2
S
0
| (∇S
0
)
2
. (1.15)
С учетом соотношения ∇S
0
= p, где p — классический импульс, опре-
деляемый соотношением
2
p
2
= 2m[E −V (r)], (1.16)
2
Классический импульс является функцией координат, и его не следует отож-
дествлять с квантовым импульсом частицы, который совместно неизмерим с коор-
динатой.
9
где S(r, t) — некоторая новая неизвестная функция. Подстановка (1.9)
в уравнение (1.8) приводит к следующему уравнению для S(r, t):

                   ∂S   (∇S)2               i} 2
                      +       + V (r, t) −    ∇ S = 0.                 (1.10)
                   ∂t    2m                2m
Если пренебречь последним слагаемым, пропорциональным }, урав-
нение (1.10) совпадает по форме с классическим уравнением
Гамильтона–Якоби:
                        ∂S   (∇S)2
                           +       + V (r, t) = 0,                     (1.11)
                        ∂t    2m
где S имеет смысл классического действия. Если потенциальная энер-
гия не зависит от времени [V (r, t) = V (r)], то в уравнениях (1.10) и
(1.11) пространственные и временные переменные разделяются и S(r, t)
можно представить в виде:

                           S(r, t) = S0 (r) − Et,                      (1.12)

где S0 (r) — так называемое укороченное действие. Подставляя (1.12) в
(1.10), получим:

                     (∇S0 )2            i} 2
                             + V (r) −    ∇ S0 = E,                    (1.13)
                       2m              2m
что отличается от соответствующего классического                 уравнения
Гамильтона–Якоби для укороченного действия

                            (∇S0 )2
                                    + V (r) = E                        (1.14)
                              2m
отсутствием в левой части слагаемого, пропорционального } [сравни
(1.10) с (1.11)].
    Исследуем более подробно переход от (1.13) к (1.14). Легко видеть,
что он возможен при выполнении неравенства

                            }|∇2 S0 |  (∇S0 )2 .                      (1.15)

С учетом соотношения ∇S0 = p, где p — классический импульс, опре-
деляемый соотношением2

                            p2 = 2m[E − V (r)],                        (1.16)
  2 Классический  импульс является функцией координат, и его не следует отож-
дествлять с квантовым импульсом частицы, который совместно неизмерим с коор-
динатой.


                                     9

Страницы