Квантовая теория. Ч. 2. Копытин И.В - 8 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

Итак, движение «центра масс» пространственного распределения ча-
стицы тем лучше описывается уравнением Ньютона, чем слабее потен-
циал зависит от координаты и чем ближе это распределение к точеч-
ному. Следует отметить, что вследствие принципа неопределенности
пространственная локализация волновой функции приводит к разбросу
значений импульса частицы и, как следствие, к нарушению классиче-
ского понимания кинетической энергии. Поэтому, помимо соотношения
(1.5), должно выполняться равенство:
hp
2
i
2m
=
hpi
2
2m
+
h(∆p)
2
i
2m
≈
hpi
2
2m
. (1.6)
Чтобы выполнялось (1.6), необходимо выполнение условия
hpi
2
h(∆p)
2
i. (1.7)
Таким образом, квантовая частица ведет себя подобно классической,
если движется в достаточно плавном потенциале с большим импуль-
сом.
В заключение приведем численную оценку границ применимости
классических законов на примере движения частицы массы m по кру-
говой орбите радиуса a вокруг силового центра, создающего потенциал
α/r. Подставляя явный вид V (r) = (mα)/r в (1.5), получим:
a
2
h(∆x)
2
i,
что вместе с (1.7) дает следующее неравенство
a
2
p
2
h(∆x)
2
ih(∆p
2
)i ∼ }
2
/4.
Очевидно, что для макроскопических объектов (для которых ap/} 1)
данное неравенство выполняется с высокой степенью точности.
1.2. Квазиклассическое приближение
Выясним теперь, как выглядит волновая функция квантовой части-
цы с массой m в поле V (r, t) в пределе, когда ее квантовое описание с
помощью уравнения Шредингера
i}
∂
∂t
Ψ(r, t) =
−
}
2
2m
∇
2
+ V (r, t)
Ψ(r, t) (1.8)
наиболее близко к классическому, и получим более строгое условие при-
менимости квазиклассического подхода. Для этого представим волно-
вую функцию в виде:
Ψ(r, t) = exp
i
}
S(r, t)
, (1.9)
8
Итак, движение «центра масс» пространственного распределения ча-
стицы тем лучше описывается уравнением Ньютона, чем слабее потен-
циал зависит от координаты и чем ближе это распределение к точеч-
ному. Следует отметить, что вследствие принципа неопределенности
пространственная локализация волновой функции приводит к разбросу
значений импульса частицы и, как следствие, к нарушению классиче-
ского понимания кинетической энергии. Поэтому, помимо соотношения
(1.5), должно выполняться равенство:
                  hp2 i   hpi2   h(∆p)2 i   hpi2
                        =      +          ≈      .                (1.6)
                  2m      2m       2m       2m
Чтобы выполнялось (1.6), необходимо выполнение условия
                            hpi2  h(∆p)2 i.                      (1.7)
Таким образом, квантовая частица ведет себя подобно классической,
если движется в достаточно плавном потенциале с большим импуль-
сом.
   В заключение приведем численную оценку границ применимости
классических законов на примере движения частицы массы m по кру-
говой орбите радиуса a вокруг силового центра, создающего потенциал
α/r. Подставляя явный вид V (r) = (mα)/r в (1.5), получим:
                             a2  h(∆x)2 i,
что вместе с (1.7) дает следующее неравенство
                    a2 p2  h(∆x)2 ih(∆p2 )i ∼ }2 /4.
Очевидно, что для макроскопических объектов (для которых ap/}  1)
данное неравенство выполняется с высокой степенью точности.

1.2.   Квазиклассическое приближение
   Выясним теперь, как выглядит волновая функция квантовой части-
цы с массой m в поле V (r, t) в пределе, когда ее квантовое описание с
помощью уравнения Шредингера
                                               
                ∂                }2 2
             i}    Ψ(r, t) = −      ∇ + V (r, t) Ψ(r, t)          (1.8)
                ∂t               2m
наиболее близко к классическому, и получим более строгое условие при-
менимости квазиклассического подхода. Для этого представим волно-
вую функцию в виде:
                                           
                                      i
                       Ψ(r, t) = exp S(r, t) ,                   (1.9)
                                      }

                                   8

Страницы