Квантовая теория. Ч. 2. Копытин И.В - 10 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

условие (1.15) принимает вид:
} |div p| p
2
. (1.17)
Учитывая, что λ = 2π~/p = 2π~/
p
2m(E − V (r)) — длина волны де-
Бройля, неравенство (1.17) может быть переписано через длину волны
де-Бройля:
|div λ| 2π , (1.18)
или силу F = −grad V :
p
3
}m|grad V | . (1.19)
Если L — характерный размер области движения частицы (в случае
финитного движения), то (учитывая, что в этом случае можно исполь-
зовать следующую оценку: dλ/dx ∼ λ/L) условие (1.18) можно сфор-
мулировать иначе:
λ L , (1.20)
т. е. квазиклассическое описание квантовой системы возможно в том
случае, если характерные размеры области движения намного превы-
шают длину волны де-Бройля частицы.
При выполнении условия (1.17) уравнение Шредингера переходит в
уравнение Гамильтона–Якоби, т. е. движение частицы становится почти
классическим (или квазиклассическим). В качестве малого безразмер-
ного параметра здесь удобно рассматривать }/S
0
. Таким образом, пе-
реход от квантовой механики к классической осуществляется формаль-
ным взятием предела } → 0 [напомним, что переход от релятивистской
физики к нерелятивистской происходит при c → ∞].
1.3. Метод ВКБ
Квазиклассическое приближение как практический метод прибли-
женного решения уравнения Шредингера наиболее полно разработано
для случая одномерного движения, которым мы и ограничимся ниже.
В этом случае соотношения (1.9), (1.13) для частицы с массой m в по-
тенциале V (x) принимают вид:
Ψ(x, t) = exp
i
}
σ(x) −
i
}
Et
= Ψ(x) exp
−
i
}
Et
, (1.21)
(σ
0
)
2
2m
+ V (x) −E −
i}
2m
σ
00
= 0. (1.22)
10
условие (1.15) принимает вид:

                           } | div p|  p2 .                  (1.17)
                                   p
Учитывая, что λ = 2π~/p = 2π~/ 2m(E − V (r)) — длина волны де-
Бройля, неравенство (1.17) может быть переписано через длину волны
де-Бройля:
                            | div λ|  2π ,                   (1.18)
или силу F = − grad V :

                          p3  }m| grad V | .                 (1.19)

Если L — характерный размер области движения частицы (в случае
финитного движения), то (учитывая, что в этом случае можно исполь-
зовать следующую оценку: dλ/dx ∼ λ/L) условие (1.18) можно сфор-
мулировать иначе:
                             λL ,                           (1.20)
т. е. квазиклассическое описание квантовой системы возможно в том
случае, если характерные размеры области движения намного превы-
шают длину волны де-Бройля частицы.
     При выполнении условия (1.17) уравнение Шредингера переходит в
уравнение Гамильтона–Якоби, т. е. движение частицы становится почти
классическим (или квазиклассическим). В качестве малого безразмер-
ного параметра здесь удобно рассматривать }/S0 . Таким образом, пе-
реход от квантовой механики к классической осуществляется формаль-
ным взятием предела } → 0 [напомним, что переход от релятивистской
физики к нерелятивистской происходит при c → ∞].

1.3.   Метод ВКБ
   Квазиклассическое приближение как практический метод прибли-
женного решения уравнения Шредингера наиболее полно разработано
для случая одномерного движения, которым мы и ограничимся ниже.
В этом случае соотношения (1.9), (1.13) для частицы с массой m в по-
тенциале V (x) принимают вид:
                                                    
                         i       i                  i
          Ψ(x, t) = exp σ(x) − Et = Ψ(x) exp − Et ,           (1.21)
                         }       }                 }

                    (σ 0 )2                i} 00
                            + V (x) − E −    σ = 0.           (1.22)
                     2m                   2m

                                  10

Страницы