Квантовая теория. Ч. 2. Копытин И.В - 7 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

ниями:
d
dt
hxi =
1
m
hpi;
d
dt
hpi = −
dV (x)
dx
, (1.1)
называемыми теоремами Эренфеста
1
. Из соотношений (1.1) следует:
m
d
2
hxi
dt
2
= −
dV (x)
dx
≡ hF i, (1.2)
где F ≡ −
dV
dx
— классическая сила, действующая на частицу со сторо-
ны поля.
Уравнение (1.2) есть квантовый аналог уравнения Ньютона, однако
следует отметить принципиальную разницу между (1.2) и вторым за-
коном Ньютона. Действительно, в законе Ньютона сила, действующая
на частицу, вычисляется локально в точке hxi, в которой находится ча-
стица, в то время как в «квантовое уравнение Ньютона» (1.2) входит
сила, усредненная по всему пространству, а не F (hxi). Однако, если
состояние Ψ(x, t) локализовано в малой области ∆
x
, включающей точку
hxi, то соотношение (1.2) можно упростить. Основной вклад в интеграл
для среднего значения дает область ∆
x
, поэтому, считая V (x) плавной
функцией внутри области локализации частицы, разложим производ-
ную dV /dx в ряд Тейлора по степеням x −hxi:
dV
dx
=
dV (hxi)
dhxi
+
d
2
V (hxi)
dhxi
2
(x −hxi) +
1
2
d
3
V (hxi)
dhxi
3
(x −hxi)
2
+ . . . , (1.3)
где
d
n
V (hxi)
dhxi
n
≡
d
n
V (x)
dx
n
x=hxi
,
и подставим (1.3) в (1.2). Учитывая условия нормировки волновой
функции на единицу, а также нулевой вклад линейного по x −hxi сла-
гаемого при усреднении (1.3), имеем:
m
d
2
hxi
dt
2
= −
dV (hxi)
dhxi
−
1
2
d
3
V (hxi)
dhxi
3
h(∆x)
2
i + . . . . (1.4)
Отсюда видно, что условие перехода теоремы Эренфеста (1.2) во второй
закон Ньютона определяется неравенством:
dV (hxi)
dhxi
d
3
V (hxi)
dhxi
3
∆
2
x
. (1.5)
1
Соотношения (1.1) легко получаются, если воспользоваться определением опе-
ратора производной по времени физической величины F :
ˆ
dF /dt = ∂
ˆ
F /∂t +
(i/})[
ˆ
H,
ˆ
F ].
7
ниями:                                                          
                  d       1            d                dV (x)
                     hxi = hpi;           hpi = −                    ,   (1.1)
                  dt      m            dt                dx
называемыми теоремами Эренфеста 1 . Из соотношений (1.1) следует:
                                     
                   d2 hxi      dV (x)
                 m        =−            ≡ hF i,              (1.2)
                    dt2         dx
           dV
где F ≡ −      — классическая сила, действующая на частицу со сторо-
            dx
ны поля.
    Уравнение (1.2) есть квантовый аналог уравнения Ньютона, однако
следует отметить принципиальную разницу между (1.2) и вторым за-
коном Ньютона. Действительно, в законе Ньютона сила, действующая
на частицу, вычисляется локально в точке hxi, в которой находится ча-
стица, в то время как в «квантовое уравнение Ньютона» (1.2) входит
сила, усредненная по всему пространству, а не F (hxi). Однако, если
состояние Ψ(x, t) локализовано в малой области ∆x , включающей точку
hxi, то соотношение (1.2) можно упростить. Основной вклад в интеграл
для среднего значения дает область ∆x , поэтому, считая V (x) плавной
функцией внутри области локализации частицы, разложим производ-
ную dV /dx в ряд Тейлора по степеням x − hxi:

 dV   dV (hxi) d2 V (hxi)             1 d3 V (hxi)
    =         +       2
                          (x − hxi) +          3
                                                   (x − hxi)2 + . . . , (1.3)
 dx    dhxi      dhxi                 2 dhxi
где
                         dn V (hxi)   dn V (x)
                                    ≡                    ,
                          dhxin        dxn       x=hxi

и подставим (1.3) в (1.2). Учитывая условия нормировки волновой
функции на единицу, а также нулевой вклад линейного по x − hxi сла-
гаемого при усреднении (1.3), имеем:

                d2 hxi     dV (hxi) 1 d3 V (hxi)
            m       2
                       = −         −         3
                                                 h(∆x)2 i + . . . .      (1.4)
                 dt         dhxi     2 dhxi
Отсюда видно, что условие перехода теоремы Эренфеста (1.2) во второй
закон Ньютона определяется неравенством:
                         dV (hxi)   d3 V (hxi) 2
                                             ∆x .                       (1.5)
                          dhxi        dhxi3
  1 Соотношения (1.1) легко получаются, если воспользоваться определением опе-
ратора производной по времени физической величины F : dF    ˆ /dt = ∂ F̂ /∂t +
(i/})[Ĥ, F̂ ].


                                       7

Страницы