Квантовая теория. Ч. 2. Копытин И.В - 74 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

4. Аналитические представления δ-функции. Известны многочис-
ленные аналитические представления δ-функции. Напомним наиболее
распространенные интегральное
δ(x) =
1
2π
Z
+∞
−∞
e
ixq
dq (А.5)
и три предельных представления:
δ(x) = lim
a→0
1
√
πa
exp
−
x
2
a
2
;
δ(x) = lim
a→0
1
π
a
x
2
+ a
2
;
δ(x) = lim
a→∞
1
π
sin ax
x
.
Соотношение (А.5) допускает 3-мерное обобщение:
δ(r)
(А.3)
=
1
(2π)
3
Z
e
irq
d
3
q . (А.6)
Б. Функции Бесселя
Функциями Бесселя ν-го порядка называются регулярные решения
цилиндрического дифференциального уравнения:
x
2
y
00
+ xy
0
+ (x
2
− ν
2
)y = 0. (Б.7)
Функцию Бесселя можно представить в виде разложения в ряд:
J
ν
(x) =
x
2
ν
∞
X
k=0
(−x
2
/2)
k
k!Γ(ν + k + 1)
.
Функция Эйри Ai(x) является регулярным решением уравнения
y
00
− xy = 0 (Б.8)
и выражается через функции Бесселя порядков ±
1
3
:
Ai(x) =
1
3
√
x [I
−1/3
(ζ) − I
1/3
(ζ)]; Ai(−x) =
1
3
√
x [J
−1/3
(ζ) + J
1/3
(ζ)],
74
   4. Аналитические представления δ-функции. Известны многочис-
ленные аналитические представления δ-функции. Напомним наиболее
распространенные интегральное
                                         Z    +∞
                                   1
                           δ(x) =                  eixq dq                     (А.5)
                                  2π      −∞


и три предельных представления:
                                               2
                                     1           x
                        δ(x) = lim √     exp − 2 ;
                               a→0   πa          a
                                   1    a
                        δ(x) = lim             ;
                               a→0 π x2 + a2
                                    1 sin ax
                        δ(x) = lim           .
                               a→∞ π     x
Соотношение (А.5) допускает 3-мерное обобщение:
                                              Z
                                  1
                                (А.3)
                         δ(r) =                    eirq d3 q .                 (А.6)
                                (2π)3


Б.   Функции Бесселя
   Функциями Бесселя ν-го порядка называются регулярные решения
цилиндрического дифференциального уравнения:

                        x2 y 00 + xy 0 + (x2 − ν 2 )y = 0.                     (Б.7)

Функцию Бесселя можно представить в виде разложения в ряд:
                                 x ν X
                                       ∞
                                                (−x2 /2)k
                     Jν (x) =                                .
                                  2           k!Γ(ν + k + 1)
                                        k=0

Функция Эйри Ai(x) является регулярным решением уравнения

                                   y 00 − xy = 0                               (Б.8)
                                             1
и выражается через функции Бесселя порядков ± :
                                             3
          1√                                             1√
Ai(x) =     x [I−1/3 (ζ) − I1/3 (ζ)];     Ai(−x) =         x [J−1/3 (ζ) + J1/3 (ζ)],
          3                                              3



                                         74

Страницы