Квантовая теория. Ч. 2. Копытин И.В - 73 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

Приложение
А. Дельта-функция Дирака
Дельта-функция Дирака определяется как ядро «фильтрующего»
интегрального оператора, который сопоставляет произвольной регу-
лярной функции ее значение в нуле:
Z
+∞
−∞
δ(x)f(x) dx
def
= f(0) . (А.1)
Определение (А.1) обобщается на 3-мерный случай:
Z
δ(r)f(r) dr
def
= f(0) . (А.2)
В декартовых координатах δ-функция векторного аргумента связана с
1-мерной δ-функцией простым соотношением:
δ(r) = δ(x)δ(y)δ(z) . (А.3)
Напомним основные свойства δ-функции.
1. Четность: δ(−x) = δ(x).
2. n-я производная δ-функции является ядром интегрального опе-
ратора, действующего согласно правилу:
Z
+∞
−∞
δ
(n)
(x)f(x) dx = (−1)
n
d
n
f(x)
dx
n
x=0
.
3. Дифференцируемая функция g(x) в аргументе δ-функции:
δ[g(x)] =
X
i
δ(x − x
i
)
dg(x)
dx
x=x
i
,
где x
i
— i-й нуль функции g(x). В частности,
δ(αx) =
δ(x)
|α|
. (А.4)
73
Приложение


А.     Дельта-функция Дирака
   Дельта-функция Дирака определяется как ядро «фильтрующего»
интегрального оператора, который сопоставляет произвольной регу-
лярной функции ее значение в нуле:
                      Z   +∞
                                              def
                               δ(x)f (x) dx = f (0) .           (А.1)
                          −∞

Определение (А.1) обобщается на 3-мерный случай:
                      Z
                                     def
                        δ(r)f (r) dr = f (0) .                  (А.2)

В декартовых координатах δ-функция векторного аргумента связана с
1-мерной δ-функцией простым соотношением:

                           δ(r) = δ(x)δ(y)δ(z) .                (А.3)

   Напомним основные свойства δ-функции.
   1. Четность: δ(−x) = δ(x).
   2. n-я производная δ-функции является ядром интегрального опе-
ратора, действующего согласно правилу:
              Z +∞                          n
                     (n)                 n d f (x)
                    δ (x)f (x) dx = (−1)            .
                −∞                          dxn x=0
     3. Дифференцируемая функция g(x) в аргументе δ-функции:
                                 X         δ(x − xi )
                     δ[g(x)] =                              ,
                                             dg(x)
                                  i           dx
                                                     x=xi

где xi — i-й нуль функции g(x). В частности,

                                           δ(x)
                               δ(αx) =          .               (А.4)
                                            |α|


                                      73

Страницы