Квантовая теория. Ч. 2. Копытин И.В - 71 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

— фурье-образ (или импульсное представление) рассеивающего потен-
циала. Соответствующее дифференциальное сечение имеет вид:
dσ
Б
=
m
2π}
2
2
|V (q)|
2
. (6.26)
Эти результаты в точности совпадают с результатами теории возмуще-
ний, полученными в разделе 6.1.
Учет второго слагаемого в разложении (6.24) приводит ко второму
борновскому приближению и т. д.
Перейдем к исследованию области применимости первого борнов-
ского приближения. Из (6.23) следует, что случаем n = 1 можно огра-
ничиться, если в области действия сил выполняется неравенство (для
краткости вместо k
a
пишем k):
|ϕ
k
(r)|
m
2π}
2
Z
e
ik|r−r
0
|
|r −r
0
|
V (r
0
) e
ik·r
0
d
3
r
0
. (6.27)
Обычно V (r) принимает наибольшее значение в точке r = 0. Тогда,
подставляя r = 0 в (6.27), получим общее условие применимости пер-
вого борновского приближения:
m
2π}
2
Z
V (r)
r
e
i(kr+k·r)
d
3
r
1. (6.28)
Если kd 1 («медленные» частицы), то в (6.28) можно пренебречь
экспонентой, и мы получаем:
V
E
1, V =
1
4πd
2
Z
V (r)
r
d
3
r, E =
}
2
2md
2
. (6.29)
По физическому смыслу V характеризует среднее значение потенци-
альной, а E – кинетической энергии электрона в области с линейными
размерами d. Следовательно, неравенство (6.29) сводится к условию,
чтобы кинетическая энергия частицы была намного больше потенци-
альной.
Если потенциал V (r) сферически-симметричен, то в (6.28) можно
аналитически вычислить интеграл по угловым переменным:
Z
∞
0
V (r)(e
2ikr
− 1) dr
k}
2
m
. (6.30)
Если мы имеем ситуацию, когда kd 1 («быстрые» частицы), то в ин-
теграле (6.30) можно пренебречь быстро осциллирующей экспонентой.
71
— фурье-образ (или импульсное представление) рассеивающего потен-
циала. Соответствующее дифференциальное сечение имеет вид:
                             m 2
                      dσБ =      2
                                   |V (q)|2 .                         (6.26)
                             2π}

Эти результаты в точности совпадают с результатами теории возмуще-
ний, полученными в разделе 6.1.
   Учет второго слагаемого в разложении (6.24) приводит ко второму
борновскому приближению и т. д.
   Перейдем к исследованию области применимости первого борнов-
ского приближения. Из (6.23) следует, что случаем n = 1 можно огра-
ничиться, если в области действия сил выполняется неравенство (для
краткости вместо ka пишем k):
                               Z           0
                         m         eik|r−r |               0
             |ϕk (r)|                       V (r 0 ) eik·r d3 r0 .   (6.27)
                        2π}2              0
                                   |r − r |

Обычно V (r) принимает наибольшее значение в точке r = 0. Тогда,
подставляя r = 0 в (6.27), получим общее условие применимости пер-
вого борновского приближения:
                         Z
                     m      V (r) i(kr+k·r) 3
                                 e         d r  1.         (6.28)
                   2π}2       r

   Если kd  1 («медленные» частицы), то в (6.28) можно пренебречь
экспонентой, и мы получаем:
                              Z
            V               1   V (r) 3            }2
                1, V =              d r, E =         .      (6.29)
            E            4πd2     r              2md2

По физическому смыслу V характеризует среднее значение потенци-
альной, а E – кинетической энергии электрона в области с линейными
размерами d. Следовательно, неравенство (6.29) сводится к условию,
чтобы кинетическая энергия частицы была намного больше потенци-
альной.
   Если потенциал V (r) сферически-симметричен, то в (6.28) можно
аналитически вычислить интеграл по угловым переменным:
                    Z ∞
                                              k}2
                        V (r)(e2ikr − 1) dr      .           (6.30)
                     0                         m

Если мы имеем ситуацию, когда kd  1 («быстрые» частицы), то в ин-
теграле (6.30) можно пренебречь быстро осциллирующей экспонентой.


                                    71

Страницы