Квантовая теория. Ч. 2. Копытин И.В - 70 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

по вычетам и последующего устремления η → +0 мы придем вновь к
(6.22).
Чтобы получить функцию Грина, соответствующую сходящимся к центру
сферическим волнам, нужно выбрать путь интегрирования (б) на рис. 6.1 и
вновь воспользоваться теорией вычетов. Приведем окончательный результат:
G
(−)
(R) = −
e
−ikR
4πR
.
Этот же результат получится, если сделать замену k → k −iη (η < 0), а после
интегрирования выполнить предельный переход η → +0.
6.5. Первое борновское приближение для амплиту-
ды рассеяния и условия его применимости
Интегральное уравнение (6.17) удобно решать методом итераций:
ψ
(n)
(r) = e
ik
a
r
−
m
2π}
2
Z
exp(ik|r − r
0
|)
|r − r
0
|
V (r
0
)ψ
(n−1)
(r
0
) d
3
r
0
, (6.23)
где ψ
(n)
(r) — решение, получаемое в результате n-й итерации (пред-
полагается, что ψ
(0)
(r) ≡ e
ik
a
r
), а полное решение уравнения (6.17)
дается суммой всех итераций. Амплитуда рассеяния, получаемая под-
становкой суммы итераций (6.23) в (6.18), в общем случае представляет
следующий бесконечный ряд:
A(k
b
, k
a
) = −
m
2π}
2
Z
e
iqr
V (r) d
3
r +
+
m
2π}
2
2
ZZ
e
iqr
exp(ik|r −r
0
|)
|r − r
0
|
V (r)V (r
0
) d
3
r d
3
r
0
+ . . . , (6.24)
где
}q = }k
a
− }k
b
— изменение импульса частицы в результате рассеяния (или импульс,
переданный рассеивающему центру).
Если сохранить лишь первое слагаемое в разложении амплитуды
(6.24), то в этом случае говорят о первом борновском приближении. В
этом приближении амплитуду можно представить в виде:
A
Б
(k
b
, k
a
) = −
m
2π}
2
V (q) , (6.25)
где
V (q) ≡
Z
e
iqr
V (r) d
3
r
70
по вычетам и последующего устремления η → +0 мы придем вновь к
(6.22).
   Чтобы получить функцию Грина, соответствующую сходящимся к центру
сферическим волнам, нужно выбрать путь интегрирования (б) на рис. 6.1 и
вновь воспользоваться теорией вычетов. Приведем окончательный результат:

                                                 e−ikR
                                 G (−) (R) = −         .
                                                  4πR
Этот же результат получится, если сделать замену k → k − iη (η < 0), а после
интегрирования выполнить предельный переход η → +0.


6.5.     Первое борновское приближение для амплиту-
         ды рассеяния и условия его применимости
   Интегральное уравнение (6.17) удобно решать методом итераций:
                          Z
    (n)      ika r    m     exp(ik|r − r 0 |)
   ψ (r) = e       −                          V (r 0 )ψ (n−1) (r 0 ) d3 r0 , (6.23)
                     2π}2      |r − r 0 |

где ψ (n) (r) — решение, получаемое в результате n-й итерации (пред-
полагается, что ψ (0) (r) ≡ eika r ), а полное решение уравнения (6.17)
дается суммой всех итераций. Амплитуда рассеяния, получаемая под-
становкой суммы итераций (6.23) в (6.18), в общем случае представляет
следующий бесконечный ряд:
                         Z
                   m
  A(kb , ka ) = −     2
                             eiqr V (r) d3 r +
                  2π}
          m 2 Z Z                          0
                          iqr exp(ik|r − r |)
     +         2
                        e                 0
                                               V (r)V (r 0 ) d3 r d3 r0 + . . . , (6.24)
           2π}                     |r − r |
где
                                  }q = }ka − }kb
— изменение импульса частицы в результате рассеяния (или импульс,
переданный рассеивающему центру).
    Если сохранить лишь первое слагаемое в разложении амплитуды
(6.24), то в этом случае говорят о первом борновском приближении. В
этом приближении амплитуду можно представить в виде:
                                                  m
                           AБ (kb , ka ) = −          V (q) ,                    (6.25)
                                                 2π}2
где                                     Z
                              V (q) ≡       eiqr V (r) d3 r


                                            70

Страницы