Квантовая теория. Ч. 2. Копытин И.В - 69 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

p
p
p
p
=
=
G
G
( )+
( )-
(à)
(á)
Рис. 6.1.
Интегрирование по угловым переменным в (6.20) выполняется элемен-
тарно:
Z
e
ipR
dΩ
p
=
4π
p
sin pR,
где
R = r − r
0
.
Таким образом,
G(R) =
1
2π
2
R
Z
∞
0
p sin pR
k
2
− p
2
dp.
Подынтегральная функция является четной относительно замены p →
−p. Дополнительно учитывая четность косинуса, преобразуем выраже-
ние для G(R):
G(R) =
1
4π
2
iR
Z
+∞
−∞
p e
ipR
k
2
− p
2
dp. (6.21)
Подынтегральная функция имеет два простых полюса в точках p =
±k, расположенных на пути интегрирования. Правила обхода полюсов
определяются из граничных условий, налагаемых на функцию G(R).
Чтобы получить решения, соответствующие уходящим от центра
волнам, нужно выбрать путь интегрирования (а) на рис. 6.1. Тогда
интеграл равен вычету в полюсе p = +k, умноженному на 2πi:
G
(+)
(R) = −
e
ikR
4πR
, (6.22)
что соответствует выражению (6.16).
Для вычисления интеграла по p можно также сместить особые точ-
ки с пути интегрирования в плоскость комплексной переменной p, введя
малую положительную добавку η к k: k → k+iη. После интегрирования
69
                                   p                              p
                                                                          (+)

         (à)                                                          G
                                           =

                                   p                              p
                                                                          (-)
         (á)                                                          G
                                           =

                                   Рис. 6.1.


Интегрирование по угловым переменным в (6.20) выполняется элемен-
тарно:               Z
                                  4π
                       eipR dΩp =      sin pR,
                                   p
где
                           R = r − r0 .
Таким образом,                         Z       ∞
                            1                      p sin pR
                    G(R) = 2                                dp.
                          2π R             0       k 2 − p2
Подынтегральная функция является четной относительно замены p →
−p. Дополнительно учитывая четность косинуса, преобразуем выраже-
ние для G(R):
                                Z +∞
                           1         p eipR
                  G(R) =                     dp.            (6.21)
                         4π 2 iR −∞ k 2 − p2
Подынтегральная функция имеет два простых полюса в точках p =
±k, расположенных на пути интегрирования. Правила обхода полюсов
определяются из граничных условий, налагаемых на функцию G(R).
   Чтобы получить решения, соответствующие уходящим от центра
волнам, нужно выбрать путь интегрирования (а) на рис. 6.1. Тогда
интеграл равен вычету в полюсе p = +k, умноженному на 2πi:

                             (+)           eikR
                         G         (R) = −      ,                               (6.22)
                                           4πR
что соответствует выражению (6.16).
   Для вычисления интеграла по p можно также сместить особые точ-
ки с пути интегрирования в плоскость комплексной переменной p, введя
малую положительную добавку η к k: k → k+iη. После интегрирования


                                       69

Страницы