Квантовая теория. Ч. 2. Копытин И.В - 67 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

Радиальная составляющая плотности потока частиц, рассеянных в
направлении вектора k
b
, дается выражением (напомним, что радиаль-
ная составляющая вектора ∇ есть ∂/∂r):
(j
b
)
r
=
}
2mi
ψ
∗
расс.
(r)
∂ψ
расс.
(r)
∂r
− ψ
расс.
(r)
∂ψ
∗
расс.
(r)
∂r
=
}k
mr
2
|A(k
b
, k
a
)|
2
.
(6.11)
Заметим, что при вычислении градиента множитель 1/r в ψ
расс.
(r) не
дифференцировался, поскольку это дало бы поправки порядка 1/r
3
к
(j
b
)
r
. Число частиц, рассеянных в единицу времени в элемент телесного
угла dΩ в направлении k
b
, получается умножением (6.11) на элемент
сферической поверхности r
2
dΩ:
dJ
b
= (j
b
)
r
r
2
dΩ =
}k
m
|A(k
b
, k
a
)|
2
dΩ. (6.12)
Дифференциальное сечение рассеяния определяется отношением dJ
b
к
j
a
с использованием (6.3) и (6.12):
dσ =
dJ
b
j
a
= |A(k
b
, k
a
)|
2
dΩ . (6.13)
Таким образом, задачей квантовой теории рассеяния является вычис-
ление амплитуды как функции энергии налетающих частиц и углов
разлета рассеянных частиц при заданном потенциале. Сечение рассея-
ния однозначно определяется его амплитудой.
6.3. Точное выражение для амплитуды рассеяния
Для дальнейшего анализа удобно вместо дифференциального урав-
нения Шредингера (6.6) с граничным условием (6.10) записать экви-
валентное ему интегральное уравнение, автоматически учитывающее
граничное условие (6.10). Для этого используется метод функции Гри-
на. Напомним, что функцией Грина свободного движения называется
решение уравнения (6.6) с δ-образной правой частью:
(∇
2
+ k
2
)G(r, r
0
) = δ(r − r
0
). (6.14)
Функция ϕ
a
(r) удовлетворяет уравнению (6.6) без правой части. Поэто-
му, если известна функция Грина, то общее решение уравнения Шре-
дингера (6.6) можно получить из интегрального уравнения:
ψ(r) = ϕ
a
(r) +
2m
}
2
Z
G(r, r
0
)V (r
0
)ψ(r
0
) d
3
r
0
. (6.15)
67
     Радиальная составляющая плотности потока частиц, рассеянных в
направлении вектора kb , дается выражением (напомним, что радиаль-
ная составляющая вектора ∇ есть ∂/∂r):
                                                     ∗         
           }     ∗         ∂ψрасс. (r)              ∂ψрасс. (r)     }k
(jb )r =        ψрасс. (r)             − ψрасс. (r)               =    2
                                                                         |A(kb , ka )|2 .
          2mi                 ∂r                       ∂r           mr
                                                                            (6.11)
Заметим, что при вычислении градиента множитель 1/r в ψрасс. (r) не
дифференцировался, поскольку это дало бы поправки порядка 1/r 3 к
(jb )r . Число частиц, рассеянных в единицу времени в элемент телесного
угла dΩ в направлении kb , получается умножением (6.11) на элемент
сферической поверхности r 2 dΩ:
                                           }k
                    dJb = (jb )r r2 dΩ =      |A(kb , ka )|2 dΩ.              (6.12)
                                           m
Дифференциальное сечение рассеяния определяется отношением dJb к
ja с использованием (6.3) и (6.12):

                                 dJb
                          dσ =       = |A(kb , ka )|2 dΩ .                    (6.13)
                                  ja

Таким образом, задачей квантовой теории рассеяния является вычис-
ление амплитуды как функции энергии налетающих частиц и углов
разлета рассеянных частиц при заданном потенциале. Сечение рассея-
ния однозначно определяется его амплитудой.

6.3.     Точное выражение для амплитуды рассеяния
   Для дальнейшего анализа удобно вместо дифференциального урав-
нения Шредингера (6.6) с граничным условием (6.10) записать экви-
валентное ему интегральное уравнение, автоматически учитывающее
граничное условие (6.10). Для этого используется метод функции Гри-
на. Напомним, что функцией Грина свободного движения называется
решение уравнения (6.6) с δ-образной правой частью:

                         (∇2 + k 2 )G(r, r 0 ) = δ(r − r 0 ).                 (6.14)

Функция ϕa (r) удовлетворяет уравнению (6.6) без правой части. Поэто-
му, если известна функция Грина, то общее решение уравнения Шре-
дингера (6.6) можно получить из интегрального уравнения:
                               Z
                            2m
             ψ(r) = ϕa (r) + 2   G(r, r 0 )V (r 0 )ψ(r 0 ) d3 r0 . (6.15)
                             }

                                         67

Страницы