Квантовая теория. Ч. 2. Копытин И.В - 65 стр.

возмущений. Для аккуратного учета взаимодействия с мишенью зада-
ча о рассеянии должна быть сформулирована точно, не предполагая
слабости взаимодействия электрона с рассеивающим центром. Такой
анализ позволит установить и границы применимости первого борнов-
ского приближения (6.5) для амплитуды рассеяния3 .

6.2.        Задача рассеяния частиц и граничное условие
           для волновой функции непрерывного спектра
   Перейдем к точной квантовой формулировке задачи о рассеянии.
Будем предполагать, что потенциал V (r) на расстояниях, превышаю-
щих радиус действия d, исчезает, так что в этой области движение ча-
стицы можно считать свободным и выбирать состояния с определенным
(асимптотическим) импульсом. Пусть импульс налетающих частиц }k a
задан. При попадании частиц в область действия потенциала импульс
становится неопределенным. После выхода частиц из этой области с
той или иной вероятностью будет сформировано состояние с асимпто-
тическим импульсом }kb , который может быть зарегистрирован детек-
тором и, вообще говоря, не совпадает с }ka , вследствие несохранения
импульса при наличии внешнего поля. В этом случае говорят о рассея-
нии частиц (в квантовом смысле). При упругом рассеянии kb = ka = k.
Общая задача состоит в вычислении вероятности рассеяния в заданный
интервал телесных углов при заданных k a и виде потенциала V (r).
С этой вероятностью однозначно связано сечение. Таким образом, в
теории рассеяния исследуется движение в состояниях с непрерывным
спектром энергий.
   По своей сути процесс рассеяния является нестационарным и его
анализ требует исследования временно́й эволюции волнового пакета,
описывающего начальное состояние электрона как суперпозицию плос-
ких волн с малым разбросом импульсов вблизи }ka . Тем не менее, ча-
сто удобно вместо временно́го описания рассматривать эквивалентную
стационарную задачу. При стационарном описании процесса рассеяния
предполагается, что имеется установившийся непрерывный поток нале-
тающих частиц, который при взаимодействии с рассеивающим центром
трансформируется в поток рассеянных частиц.
   Итак, в стационарной формулировке задача сводится к решению
уравнения Шредингера:
                                2mV (r)                2mE
            (∇2 + k 2 )ψ(r) =           ψ(r),   k2 =       ,   E > 0.   (6.6)
                                  }2                    }2
  3 Хотя это можно сделать и в рамках теории возмущений, вычисляя поправку
второго порядка к амплитуде рассеяния и определяя условия, при которых она
мала по сравнению с AБ (kb , ka ).


                                        65