Квантовая теория. Ч. 2. Копытин И.В - 64 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

p
a
= }k
a
и p
b
= }k
b
соответственно, нормированные на конечный объ-
ём V (объём квантования):
|ii ≡ ψ
p
a
(r) =
1
√
V
e
ik
a
·r
, |fi ≡ ψ
p
b
(r) =
1
√
V
e
ik
b
·r
, (6.1)
причём |p
a
| = |p
b
| ≡ p = mv (m — масса частицы). Плотность состоя-
ний дается формулой (4.31), так что для дифференциальной вероятно-
сти рассеяния в единицу времени в малый элемент телесных углов dΩ
формула (4.30) даёт:
dP (k
b
, k
a
) =
2π
}
Z
e
−i(k
b
−k
a
)·r
V (r)dr
2
m
2
v
V (2π})
3
dΩ. (6.2)
Как видно, это выражение зависит от способа нормировки волновых
функций непрерывного спектра (выбора объёма квантования V ), по-
этому, как и в классической механике, процесс квантового рассеяния
удобнее описывать с помощью сечения рассеяния, определив его как
отношение dP (k
b
, k
a
) к плотности потока падающих частиц j
a
= |j
a
|.
Вектор j
a
вычисляется обычным образом:
j
a
=
}
2mi
(ψ
∗
p
a
(r)∇ψ
p
a
(r) − ψ
p
a
(r)∇ψ
∗
p
a
(r)) =
}k
a
mV
, (6.3)
так что j
a
= v/V , нефизический объём V сокращается в сечении, кото-
рое записывается в следующем виде (называемом формулой Борна):
dσ ≡
dP (k
b
, k
a
)
j
a
= |A
Б
(k
b
, k
a
)|
2
dΩ, (6.4)
где
A
Б
(k
b
, k
a
) = −
m
2π}
2
Z
e
−i(k
b
−k
a
)·r
V (r) d
3
r (6.5)
и называется амплитудой рассеяния в первом борновском приближении
(или просто борновской амплитудой рассеяния)
2
.
Борновская амплитуда рассеяния имеет простой вид (Фурье-образ
рассеивающего потенциала V (r)) и зависит от «переданного импуль-
са» (разности ∆p = p
b
− p
a
), а не от векторов p
a
и p
b
по отдельности.
Более того, в случае центрального потенциала (V (r) = V (r)) она за-
висит только от одного скалярного параметра ∆p = 2p sin(θ/2), где θ
— угол рассеяния. Недостатком выражения (6.5) является то, что оно
является приближенным, так как получено в первом порядке теории
2
Знак минус в (6.5) выбран для удобства сравнения с точным квантовым резуль-
татом.
64
pa = }ka и pb = }kb соответственно, нормированные на конечный объ-
ём V (объём квантования):
                          1                                      1
         |ii ≡ ψpa (r) = √ eika ·r ,           |f i ≡ ψpb (r) = √ eikb ·r ,           (6.1)
                           V                                      V
причём |pa | = |pb | ≡ p = mv (m — масса частицы). Плотность состоя-
ний дается формулой (4.31), так что для дифференциальной вероятно-
сти рассеяния в единицу времени в малый элемент телесных углов dΩ
формула (4.30) даёт:
                                 Z                                 2
                            2π           −i(kb −ka )·r                   m2 v
            dP (kb , ka ) =          e                   V (r)dr                dΩ.   (6.2)
                             }                                         V (2π})3

Как видно, это выражение зависит от способа нормировки волновых
функций непрерывного спектра (выбора объёма квантования V ), по-
этому, как и в классической механике, процесс квантового рассеяния
удобнее описывать с помощью сечения рассеяния, определив его как
отношение dP (kb , ka ) к плотности потока падающих частиц ja = |j a |.
Вектор j a вычисляется обычным образом:

                     }                                            }ka
             ja =       (ψp∗ a (r)∇ψpa (r) − ψpa (r)∇ψp∗ a (r)) =     ,               (6.3)
                    2mi                                           mV
так что ja = v/V , нефизический объём V сокращается в сечении, кото-
рое записывается в следующем виде (называемом формулой Борна):

                              dP (kb , ka )
                       dσ ≡                 = |AБ (kb , ka )|2 dΩ,                    (6.4)
                                  ja
где                                           Z
                                       m
                    AБ (kb , ka ) = −              e−i(kb −ka )·r V (r) d3 r          (6.5)
                                      2π}2
и называется амплитудой рассеяния в первом борновском приближении
(или просто борновской амплитудой рассеяния)2 .
   Борновская амплитуда рассеяния имеет простой вид (Фурье-образ
рассеивающего потенциала V (r)) и зависит от «переданного импуль-
са» (разности ∆p = pb − pa ), а не от векторов pa и pb по отдельности.
Более того, в случае центрального потенциала (V (r) = V (r)) она за-
висит только от одного скалярного параметра ∆p = 2p sin(θ/2), где θ
— угол рассеяния. Недостатком выражения (6.5) является то, что оно
является приближенным, так как получено в первом порядке теории
  2 Знак   минус в (6.5) выбран для удобства сравнения с точным квантовым резуль-
татом.


                                              64

Страницы