Квантовая теория. Ч. 2. Копытин И.В - 66 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

Прежде мы решали уравнение Шредингера для финитного движения
(осциллятор, атом водорода), что требовало нулевых граничных усло-
вий для волновой функции при бесконечном удалении от области дей-
ствия силового поля. Теория рассеяния исследует инфинитное движе-
ние, и поэтому для волновой функции требуются принципиально иные
граничные условия, которые мы установим ниже.
Вне области действия потенциала состояние падающих частиц зада-
ется плоской волной (для простоты ниже мы опускаем нормировочную
постоянную; например, считая объём квантования V равным единице):
ϕ
a
(r) = e
ik
a
r
. (6.7)
Функция (6.7) нормирована так, что плотность потока численно равна
классической скорости:
j
a
=
}
2mi
(ϕ
∗
a
∇ϕ
a
− ϕ
a
∇ϕ
∗
a
) =
}k
a
m
. (6.8)
Волновая функция, описывающая уходящие на бесконечность рас-
сеянные частицы в направлении вектора r, в соответствии с принципом
причинности должна иметь асимптотическое поведение в виде сфери-
ческой расходящейся волны:
ψ
расс.
(r) = A(k
b
, k
a
)
e
ikr
r
, (6.9)
где
k
b
= k
r
r
.
Множитель A(k
b
, k
a
) не зависит от r и называется амплитудой рассея-
ния. Вдали от области действия рассеивающего потенциала рассеянная
волна полностью определяется амплитудой. Для вычисления амплиту-
ды необходимо из всех возможных решений уравнения Шредингера
(6.6) выбрать только такое, асимптотическое поведение которого имеет
вид:
ψ(r) ∼ ϕ
a
(r) + ψ
расс.
(r) = e
ik
a
r
+ A(k
b
, k
a
)
e
ikr
r
, r d . (6.10)
Другими словами, вне области действия рассеивающего потенциала
волновая функция должна быть суперпозицией плоской и уходящей
сферической волн. Соотношение (6.10) является граничным условием к
уравнению Шредингера (6.6) в задаче рассеяния.
66
Прежде мы решали уравнение Шредингера для финитного движения
(осциллятор, атом водорода), что требовало нулевых граничных усло-
вий для волновой функции при бесконечном удалении от области дей-
ствия силового поля. Теория рассеяния исследует инфинитное движе-
ние, и поэтому для волновой функции требуются принципиально иные
граничные условия, которые мы установим ниже.
   Вне области действия потенциала состояние падающих частиц зада-
ется плоской волной (для простоты ниже мы опускаем нормировочную
постоянную; например, считая объём квантования V равным единице):

                                   ϕa (r) = eika r .                        (6.7)

Функция (6.7) нормирована так, что плотность потока численно равна
классической скорости:
                             }                         }ka
                     ja =       (ϕ∗a ∇ϕa − ϕa ∇ϕ∗a ) =     .                (6.8)
                            2mi                         m
   Волновая функция, описывающая уходящие на бесконечность рас-
сеянные частицы в направлении вектора r, в соответствии с принципом
причинности должна иметь асимптотическое поведение в виде сфери-
ческой расходящейся волны:

                                                     eikr
                            ψрасс. (r) = A(kb , ka )      ,                 (6.9)
                                                      r
где
                                       r
                               kb = k .
                                       r
Множитель A(kb , ka ) не зависит от r и называется амплитудой рассея-
ния. Вдали от области действия рассеивающего потенциала рассеянная
волна полностью определяется амплитудой. Для вычисления амплиту-
ды необходимо из всех возможных решений уравнения Шредингера
(6.6) выбрать только такое, асимптотическое поведение которого имеет
вид:

                                                          eikr
      ψ(r) ∼ ϕa (r) + ψрасс. (r) = eika r + A(kb , ka )        ,   rd .   (6.10)
                                                           r

Другими словами, вне области действия рассеивающего потенциала
волновая функция должна быть суперпозицией плоской и уходящей
сферической волн. Соотношение (6.10) является граничным условием к
уравнению Шредингера (6.6) в задаче рассеяния.



                                          66

Страницы