Квантовая теория. Ч. 2. Копытин И.В - 68 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

Подействовав на обе части этого уравнения оператором ∇
2
+ k
2
с учё-
том (6.14), легко увидеть, что оно эквивалентно дифференциальному
уравнению (6.6).
Как будет показано ниже, решение уравнения (6.14) неоднозначно
без указания граничных условий для G(r, r
0
), а функция Грина, имею-
щая асимптотику расходящихся сферических волн и обеспечивающая
выполнение граничного условия (6.10) для решения уравнения (6.15),
дается следующим выражением:
G
(+)
(r, r
0
) = −
exp(ik|r − r
0
|)
4π|r − r
0
|
. (6.16)
Поэтому уравнение (6.15) для задач рассеяния имеет вид:
ψ(r) = e
ik
a
r
−
m
2π}
2
Z
exp(ik|r −r
0
|)
|r −r
0
|
V (r
0
)ψ(r
0
) d
3
r
0
. (6.17)
Покажем, что решение этого интегрального уравнения удовлетворяет
граничному условию (6.10). На больших расстояниях (r d) можно
положить k|r − r
0
| ≈ kr
p
1 −2r · r
0
/r
2
≈ kr − k
b
· r
0
. Тогда уравнение
(6.17) превращается в (6.10) с амплитудой
A(k
b
, k
a
) = −
m
2π}
2
Z
e
−ik
b
r
0
V (r
0
)ψ(r
0
) d
3
r
0
. (6.18)
К сожалению, точное выражение для амплитуды (6.18) содержит неиз-
вестную функцию ψ(r) и не может быть вычислено без знания решения
уравнения (6.17) при всех r.
6.4. Функция Грина свободного движения
Функция Грина свободного движения частицы определяется урав-
нением (6.14). При r 6= r
0
оно формально совпадает с уравнением Шре-
дингера для свободного движения. Четность δ-функции приводит к
симметрии функции Грина относительно перестановки r r
0
.
Для нахождения функции Грина перепишем уравнение (6.14) в виде
G(r, r
0
) = (∇
2
+ k
2
)
−1
δ(r − r
0
). (6.19)
Подставляя в (6.19) интегральное представление δ-функции (А.6), на-
ходим:
G(r, r
0
) = G(|r − r
0
|) =
1
(2π)
3
Z
exp{ip(r − r
0
)}
k
2
− p
2
d
3
p. (6.20)
68
Подействовав на обе части этого уравнения оператором ∇2 + k 2 с учё-
том (6.14), легко увидеть, что оно эквивалентно дифференциальному
уравнению (6.6).
   Как будет показано ниже, решение уравнения (6.14) неоднозначно
без указания граничных условий для G(r, r 0 ), а функция Грина, имею-
щая асимптотику расходящихся сферических волн и обеспечивающая
выполнение граничного условия (6.10) для решения уравнения (6.15),
дается следующим выражением:

                               (+)        0      exp(ik|r − r 0 |)
                           G         (r, r ) = −                   .                  (6.16)
                                                   4π|r − r 0 |
Поэтому уравнение (6.15) для задач рассеяния имеет вид:
                                      Z
                  ika r      m            exp(ik|r − r 0 |)
       ψ(r) = e           −                                 V (r 0 )ψ(r 0 ) d3 r0 .   (6.17)
                            2π}2                    0
                                             |r − r |

Покажем, что решение этого интегрального уравнения удовлетворяет
граничному условию (6.10).
                        p На больших расстояниях       (r  d) можно
                 0                 0 2             0
положить k|r − r | ≈ kr 1 − 2r · r /r ≈ kr − kb · r . Тогда уравнение
(6.17) превращается в (6.10) с амплитудой
                                              Z
                               m                         0
              A(kb , ka ) = −                     e−ikb r V (r 0 )ψ(r 0 ) d3 r0 .     (6.18)
                              2π}2

К сожалению, точное выражение для амплитуды (6.18) содержит неиз-
вестную функцию ψ(r) и не может быть вычислено без знания решения
уравнения (6.17) при всех r.

6.4.    Функция Грина свободного движения
   Функция Грина свободного движения частицы определяется урав-
нением (6.14). При r 6= r 0 оно формально совпадает с уравнением Шре-
дингера для свободного движения. Четность δ-функции приводит к
симметрии функции Грина относительно перестановки r  r 0 .
   Для нахождения функции Грина перепишем уравнение (6.14) в виде

                           G(r, r 0 ) = (∇2 + k 2 )−1 δ(r − r 0 ).                    (6.19)

Подставляя в (6.19) интегральное представление δ-функции (А.6), на-
ходим:
                                      Z
             0            0       1     exp{ip(r − r 0 )} 3
       G(r, r ) = G(|r − r |) =                          d p. (6.20)
                                (2π)3       k 2 − p2

                                                  68

Страницы