Квантовая теория. Ч. 3. Копытин И.В - 20 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

коммутационным соотношениям:
[
ˆ
J
k
,
ˆ
J
l
] = i}
X
m
ε
klm
ˆ
J
m
; k, l, m = x, y, z. (1.51)
Их следствием, как можно показать, будет:
[
ˆ
J
k
,
ˆ
J
2
] = 0; k = x, y, z, (1.52)
где
ˆ
J
2
=
ˆ
J
2
x
+
ˆ
J
2
y
+
ˆ
J
2
y
— оператор квадрата углового момента.
На основе только коммутационных соотношений (1.51) для сово-
купности трех эрмитовых операторов
ˆ
J
i
можно получить собственные
значения
ˆ
J
z
и
ˆ
J
2
без использования конкретного (например, коорди-
натного) представления для этих операторов. Строгий вывод излага-
ется, например, в [3] из списка дополнительной литературы, п. 1.1.4.
Приведем лишь окончательный результат:
ˆ
J
2
|j mi = }
2
j(j + 1) |j mi; j = 0,
1
2
, 1,
3
2
, . . . ;
ˆ
J
z
|j mi = }m |j mi; m = −j, −j + 1, . . . , j − 1, j
(1.53)
Собственным значениям
ˆ
J
2
соответствует квантовое число j. Оно ино-
гда называется «моментом» и может принимать как целые, так и по-
луцелые значения. Собственным значениям
ˆ
J
z
соответствует квантовое
число m. Его иногда называют просто «проекцией». В соответствии с
(1.52), у операторов
ˆ
J
z
и
ˆ
J
2
общий набор собственных функций.
Соотношения (1.51), (1.53) универсальны. Они включают в себя ор-
битальный (j = l = 0, 1, . . .) и спиновый (j = s =
1
2
) моменты как част-
ные случаи. В природе существуют частицы со спином, отличающимся
от
1
2
. Как упоминалось, у фотонов спин равен 1, у Ω
−
-гиперонов —
3
2
. Существуют и бесспиновые частицы (с нулевым спином), например,
π-мезоны. Тем не менее, для спинов всех этих частиц выполняются со-
отношения (1.51), (1.53).
Обратим внимание, что при любом (целом и полуцелом) j проек-
ция m меняется только на целое число. Поэтому, во-первых, запись
m = −j, −j + 1, . . . , j − 1, j более корректна по сравнению с привыч-
ной для орбитального момента записью m = 0, ±1, . . . , ±j, т. к. при
полуцелых j нуль не входит в число возможных значений m (если j —
целое, то обе записи эквивалентны). Во-вторых, число j ± m — всегда
целое. Очевидно, что собственные значения
ˆ
J
2
вырождены по проекции
m с кратностью 2j + 1. Причиной такого вырождения, как и в случае
орбитального момента, является независимость
ˆ
J
2
от ориентации «век-
тора»
ˆ
J.
20
коммутационным соотношениям:
                              X
            [Jˆk , Jˆl ] = i}   εklm Jˆm ;            k, l, m = x, y, z.   (1.51)
                               m

Их следствием, как можно показать, будет:

                         [Jˆk , Ĵ 2 ] = 0;        k = x, y, z,            (1.52)

где Ĵ 2 = Jˆx2 + Jˆy2 + Jˆy2 — оператор квадрата углового момента.
   На основе только коммутационных соотношений (1.51) для сово-
купности трех эрмитовых операторов Jˆi можно получить собственные
значения Jˆz и Ĵ 2 без использования конкретного (например, коорди-
натного) представления для этих операторов. Строгий вывод излага-
ется, например, в [3] из списка дополнительной литературы, п. 1.1.4.
Приведем лишь окончательный результат:

                                                   1       3
        Ĵ 2 |j mi = }2 j(j + 1) |j mi ;    j = 0, , 1, , . . . ;
                                                   2       2               (1.53)
        Jˆz |j mi = }m |j mi ;         m = −j, −j + 1, . . . , j − 1, j

Собственным значениям Ĵ 2 соответствует квантовое число j. Оно ино-
гда называется «моментом» и может принимать как целые, так и по-
луцелые значения. Собственным значениям Jˆz соответствует квантовое
число m. Его иногда называют просто «проекцией». В соответствии с
(1.52), у операторов Jˆz и Ĵ 2 общий набор собственных функций.
    Соотношения (1.51), (1.53) универсальны. Они включают в себя ор-
битальный (j = l = 0, 1, . . .) и спиновый (j = s = 21 ) моменты как част-
ные случаи. В природе существуют частицы со спином, отличающимся
от 21 . Как упоминалось, у фотонов спин равен 1, у Ω− -гиперонов —
3
2 . Существуют и бесспиновые частицы (с нулевым спином), например,
π-мезоны. Тем не менее, для спинов всех этих частиц выполняются со-
отношения (1.51), (1.53).
    Обратим внимание, что при любом (целом и полуцелом) j проек-
ция m меняется только на целое число. Поэтому, во-первых, запись
m = −j, −j + 1, . . . , j − 1, j более корректна по сравнению с привыч-
ной для орбитального момента записью m = 0, ±1, . . . , ±j, т. к. при
полуцелых j нуль не входит в число возможных значений m (если j —
целое, то обе записи эквивалентны). Во-вторых, число j ± m — всегда
целое. Очевидно, что собственные значения Ĵ 2 вырождены по проекции
m с кратностью 2j + 1. Причиной такого вырождения, как и в случае
орбитального момента, является независимость Ĵ 2 от ориентации «век-
тора» Ĵ .


                                              20

Страницы