Квантовая теория. Ч. 3. Копытин И.В - 21 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

Напомним, что в теории орбитального момента (см. Ч. 1, п. 2.4) со-
отношения (1.51), (1.53) получались, если исходить из конкретного ви-
да оператора
ˆ
L в координатном представлении. Но такой способ дает
лишь целые значения орбитального квантового числа. Отказ от коорди-
натного представления позволяет рассматривать и полуцелые значения
j, соответствующие спинам элементарных частиц, операторы которых,
как уже говорилось в теории спина, в принципе не могут быть записаны
в координатном представлении.
1.6.2. Сложение моментов
Рассмотрим сложную систему, состоящую из двух подсистем. Пе-
ременные первой подсистемы будем помечать индексом «1», второй —
«2». Пусть
ˆ
1
и
ˆ
2
— операторы углового момента каждой из подсистем.
Определим оператор полного момента как
ˆ
J =
ˆ
1
+
ˆ
2
. (1.54)
Докажем, что
ˆ
J тоже является оператором углового момента. Для
этого просто проверим равенство (1.51):
[
ˆ
J
k
,
ˆ
J
l
]
(1.54)
= [ˆ
1,k
+ ˆ
2,k
, ˆ
1,l
+ ˆ
2,l
] =
= [ˆ
1,k
, ˆ
1,l
] + [ˆ
1,k
, ˆ
2,l
]
| {z }
0
+ [ˆ
1,k
, ˆ
2,l
]
| {z }
0
+[ˆ
2,k
, ˆ
2,l
]
(1.51)
=
= i}
X
m
ε
klm
(ˆ
1,m
+ ˆ
2,m
)
(1.54)
= i}
X
m
ε
klm
ˆ
J
m
; k, l, m = x, y, z.
Значения двух подчеркнутых коммутаторов равны нулю, поскольку
операторы
ˆ
1
и
ˆ
2
относятся к разным подсистемам («действуют на раз-
ные переменные»). Таким образом, согласно определению (1.51), пол-
ный момент обладает всеми перечисленными выше свойствами углово-
го момента. Важно подчеркнуть, что под
ˆ
1
и
ˆ
2
можно понимать также
орбитальный и спиновый моменты одной частицы (например, электро-
на), поскольку они коммутируют (а только этот факт и использовался
в определении полного момента (1.54)).
1.6.3. Волновые функции составной системы
Пусть состояние каждой подсистемы задается соответственно вол-
новыми функциями h1 |j
1
m
1
i и h2|j
2
m
2
i. Поставим задачу построения
волновой функции всей системы.
21
    Напомним, что в теории орбитального момента (см. Ч. 1, п. 2.4) со-
отношения (1.51), (1.53) получались, если исходить из конкретного ви-
да оператора L̂ в координатном представлении. Но такой способ дает
лишь целые значения орбитального квантового числа. Отказ от коорди-
натного представления позволяет рассматривать и полуцелые значения
j, соответствующие спинам элементарных частиц, операторы которых,
как уже говорилось в теории спина, в принципе не могут быть записаны
в координатном представлении.

1.6.2.      Сложение моментов
   Рассмотрим сложную систему, состоящую из двух подсистем. Пе-
ременные первой подсистемы будем помечать индексом «1», второй —
«2». Пусть ̂1 и ̂2 — операторы углового момента каждой из подсистем.
Определим оператор полного момента как

                                            Ĵ = ̂1 + ̂2 .                                    (1.54)

   Докажем, что Ĵ тоже является оператором углового момента. Для
этого просто проверим равенство (1.51):

              (1.54)
  [Jˆk , Jˆl ] = [̂1,k + ̂2,k , ̂1,l + ̂2,l ] =
                                                                                     (1.51)
               = [̂1,k , ̂1,l ] + [̂1,k , ̂2,l ] + [̂1,k , ̂2,l ] +[̂2,k , ̂2,l ] =
                                    | {z } | {z }
                                          0                 0
                 X                               (1.54)      X
          = i}        εklm (̂1,m + ̂2,m ) = i}                    εklm Jˆm ;     k, l, m = x, y, z.
                  m                                             m

Значения двух подчеркнутых коммутаторов равны нулю, поскольку
операторы ̂1 и ̂2 относятся к разным подсистемам («действуют на раз-
ные переменные»). Таким образом, согласно определению (1.51), пол-
ный момент обладает всеми перечисленными выше свойствами углово-
го момента. Важно подчеркнуть, что под ̂1 и ̂2 можно понимать также
орбитальный и спиновый моменты одной частицы (например, электро-
на), поскольку они коммутируют (а только этот факт и использовался
в определении полного момента (1.54)).

1.6.3.      Волновые функции составной системы
   Пусть состояние каждой подсистемы задается соответственно вол-
новыми функциями h1 |j1 m1 i и h2 |j2 m2 i. Поставим задачу построения
волновой функции всей системы.


                                                   21

Страницы