Квантовая теория. Ч. 3. Копытин И.В - 23 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

преобразованием:
|(j
1
j
2
) JMi =
X
m
1
m
2
|j
1
m
1
, j
2
m
2
ihj
1
m
1
, j
2
m
2
|(j
1
j
2
) JMi. (1.58)
Обратное преобразование есть:
|j
1
m
1
, j
2
m
2
i =
X
JM
|(j
1
j
2
) JMih(j
1
j
2
) JM |j
1
m
1
, j
2
m
2
i. (1.59)
Элементы унитарной матрицы hj
1
m
1
, j
2
m
2
|(j
1
j
2
) JMi нумеруют-
ся сложным образом: «столбцы» задаются двойным индексом m
1
m
2
,
«строки» — индексом JM. Моменты j
1
и j
2
являются параметрами
матрицы.
Условия ортонормированности базисов |(j
1
j
2
) JMi и |j
1
m
1
, j
2
m
2
i
приводят к следующим соотношениям ортогональности:
X
m
1
m
2
h(j
1
j
2
) JM |j
1
m
1
, j
2
m
2
ihj
1
m
1
, j
2
m
2
|(j
1
j
2
) J
0
M
0
i = δ
J
0
J
δ
M
0
M
;
(1.60)
X
JM
hj
1
m
1
, j
2
m
2
|(j
1
j
2
) JMih(j
1
j
2
) JM |j
1
m
0
1
, j
2
m
0
2
i = δ
m
0
1
m
1
δ
m
0
2
m
2
.
(1.61)
Матричные элементы hj
1
m
1
, j
2
m
2
|(j
1
j
2
) JMi обычно записываются
в более компактных обозначениях,
hj
1
m
1
, j
2
m
2
|(j
1
j
2
) JMi ≡ C
JM
j
1
m
1
j
2
m
2
, (1.62)
и называются коэффициентами Клебша–Гордана или коэффициента-
ми векторного сложения. Преобразование (1.58) в обозначениях (1.62)
принимает вид:
|(j
1
j
2
) JMi =
X
m
1
m
2
C
JM
j
1
m
1
j
2
m
2
|j
1
m
1
, j
2
m
2
i (1.63)
Коэффициентам Клебша–Гордана можно приписать следующий физи-
ческий смысл, очевидный из (1.58), (1.63): |C
JM
j
1
m
1
j
2
m
2
|
2
есть вероят-
ность обнаружения заданных проекций моментов m
1
и m
2
= M −m
1
первой и второй подсистем в состоянии с полным моментом J и
проекцией M, или, как следует из (1.59), вероятность обнаружения
заданных значений J и его проекции M в несвязанном состоянии с
заданными j
1
, m
1
и j
2
, m
2
.
Перечислим тривиальные ограничения на параметры коэффициен-
тов Клебша–Гордана («правила отбора»), нарушение которых приво-
дит к их обращению в нуль.
23
преобразованием:
                         X
      |(j1 j2 ) JM i =           |j1 m1 , j2 m2 i hj1 m1 , j2 m2 |(j1 j2 ) JM i .          (1.58)
                         m1 m2

Обратное преобразование есть:
                        X
     |j1 m1 , j2 m2 i =   |(j1 j2 ) JM i h(j1 j2 ) JM |j1 m1 , j2 m2 i .                   (1.59)
                          JM

   Элементы унитарной матрицы hj1 m1 , j2 m2 |(j1 j2 ) JM i нумеруют-
ся сложным образом: «столбцы» задаются двойным индексом m1 m2 ,
«строки» — индексом JM . Моменты j1 и j2 являются параметрами
матрицы.
   Условия ортонормированности базисов |(j1 j2 ) JM i и |j1 m1 , j2 m2 i
приводят к следующим соотношениям ортогональности:
    X
       h(j1 j2 ) JM |j1 m1 , j2 m2 i hj1 m1 , j2 m2 |(j1 j2 ) J 0 M 0 i = δJ 0 J δM 0 M ;
   m1 m2

    X                                                                                       (1.60)
         hj1 m1 , j2 m2 |(j1 j2 ) JM i h(j1 j2 ) JM    |j1 m01 , j2 m02 i   = δm01 m1 δm02 m2 .
    JM
                                                                  (1.61)
   Матричные элементы hj1 m1 , j2 m2 |(j1 j2 ) JM i обычно записываются
в более компактных обозначениях,
                      hj1 m1 , j2 m2 |(j1 j2 ) JM i ≡ CjJM
                                                        1 m 1 j2 m 2
                                                                     ,                     (1.62)
и называются коэффициентами Клебша–Гордана или коэффициента-
ми векторного сложения. Преобразование (1.58) в обозначениях (1.62)
принимает вид:

                                       X
                   |(j1 j2 ) JM i =           CjJM
                                                1 m 1 j2 m 2
                                                             |j1 m1 , j2 m2 i              (1.63)
                                      m1 m2

Коэффициентам Клебша–Гордана можно приписать следующий физи-
ческий смысл, очевидный из (1.58), (1.63): |CjJM
                                              1 m 1 j2 m 2
                                                           |2 есть вероят-
ность обнаружения заданных проекций моментов m1 и m2 = M − m1
первой и второй подсистем в состоянии с полным моментом J и
проекцией M , или, как следует из (1.59), вероятность обнаружения
заданных значений J и его проекции M в несвязанном состоянии с
заданными j1 , m1 и j2 , m2 .
   Перечислим тривиальные ограничения на параметры коэффициен-
тов Клебша–Гордана («правила отбора»), нарушение которых приво-
дит к их обращению в нуль.


                                              23

Страницы